算法的时间复杂度的计算

前言：

算法的分析方式有两种：

事后分析统计方法:编写算法对应程序，统计其执行时间。
存在问题：编写程序的语言不同，执行程序的环境不同等因素
事前估算分析方法:撇开上述因素，认为算法的执行时间是问题规模n的函数。

所以我们引入了时间复杂度的概念来对算法进行分析

分析算法的执行时间

求出算法所有原操作的执行次数(也称为频度)，它是问题规模n的函数，用 T(n) 表示。

算法执行大致时间 = 原操作所需的时间 * T(n)
所以算法的执行时间与 T(n) 成正比
为此用 T(n) 表示算法的执行时间

频度的计算

先来看一段代码

for (i = 0; i < n; i++) {                                      //语句 1   频度为 n+1for (j = 0; j < n; j++) {                              //语句 2   频度为 n*(n+1)c[i][j] = 0;                                   //语句 3   频度为 n*n for (k = 0; k < n; k++)                        //语句 4   频度为 n*n*(n+1) c[i][j] = c[i][j] + a[i][k] * b[k][j]; //语句 5   频度为 n*n*n       }
}

来解释一下，每个语句的频度

语句1：

不看内循环，单独看语句 1 ，当i范围在 [0,n-1] 时，它执行了n次，i=n时还执行了一次（判断后跳出循环），所以是n+1次。

语句2：

一样，不看内循环和外循环，单独看语句2，语句2执行了n+1次，再看外循环，也就是语句1 循环了 n 次（频度是n+1,但是循环次数并不是n+1次）所以语句2 的频度为 n*(n+1)

语句3：

不看外循环，执行一次，再看外循环，执行n*n次故频度为n²

语句4和语句5的频度就不做解释了

得出这个段代码的 频数之和为

T(n) = 2n³ + 3n² + 2n + 1

算法的执行时间用时间复杂度来表示

T(n) = O(f(n))
记号“O”读作“大O”，它表示随问题规模n的增大算法执行时
间的增长率和f(n)的增长率相同。

T(n)= O(f(n))表示存在一个正的常数M,使得当n≥n0时都满足:
| T(n) | ≤ M | f(n) |
f(n)是 T(n)的上界
这种上界可能很多，通常取最接近的上界，即紧凑上界
大致情况：lim n->∞ T(n) / f(n) = M

是不是觉得很啰嗦，怎么涉及到这种概念，没事看不懂也没事，其实，只要求出T(n) 的最高阶就行了忽略其他低阶项和常系数
例如
T(n) = 2n³ + 3n² + 2n + 1 = O(n³）
T(n) =2n² + 2n + 1 = O(n²）
T(n) = n + 1 = O(n）
T(n) = 1 = O(1）
一个没有循环的算法的执行时间与问题规模n无关，记作0(1)，也称作常数阶。
一个只有一重循环的算法的执行时间与问题规模n的增长呈线性增大关系，记作O(n)，也称线性阶。
其余常用的算法时间复杂度还有平方阶O(n²)、立方阶O(n³)、对数阶O(log2n)、指数阶O(2^n)等。

对数阶的例子：

int i = 1;
while(i<n)
{i = i*2;
}

执行次数为x次
2^x = n
则 x = log 2 n
时间复杂度为O(log2n)

指数阶的例子

int aFunc(int n) {if (n <= 1) return 1;else return aFunc(n - 1) + aFunc(n - 2);
}

显然运行次数，T(0) = T(1) = 1，同时 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) + 1，这里的 1 是其中的加法算一次执行。显然 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) 是一个斐波那契数列，通过归纳证明法可以证明，当 n >= 1 时 T(n) < (5/3)^n，同时当 n > 4 时 T(n) >= (3/2)^n。所以该方法的时间复杂度可以表示为 O((5/3)^n)，简化后为 O(2^n)。

常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是

O(1 )< O(logn) < O(n) < O(n*logn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

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