求组合数的几种常规方法

在比赛中常用到的几种处理组合数的方法。

1.杨辉三角

利用组合数性质c(n,m)=c(n-1,m)+c(n-1,m-1)与边界条件c(n,0)=c(n,n)=1，在O(n²)的时间复杂度内处理出1-n范围内的所有组合数。

例：给定n，m，k，对于所有的0≤i≤n，0≤j≤min(i,m)，求有多少对 (i, j) 满足是c(i,j)是k的倍数。

利用杨辉三角预处理出1-n范围内所有组合数%k的值，再统计出0的个数即可。

void init(){for(int i=0;i<=N;i++) c[i][0]=c[i][i]=1;for(int i=1;i<=N;i++)for(int j=1;j<=i;j++) c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
}

适用条件：数据范围较小时，且单次计算常数小（直接从数组读取），在数据范围较小时是最佳选择。

2.线性递推得同一行的所有组合数

考虑c(n,m)= n ! m ! ( n − m ) ! \frac{n!}{m!(n-m)!} m!(n−m)!n!，c(n,m+1)= n ! ( m + 1 ) ! ( n − m − 1 ) ! \frac{n!}{(m+1)!(n-m-1)!} (m+1)!(n−m−1)!n!= n − m m + 1 \frac{n-m}{m+1} m+1n−m n ! m ! ( n − m ) ! \frac{n!}{m!(n-m)!} m!(n−m)!n!= n − m m + 1 \frac{n-m}{m+1} m+1n−mc(n,m)，可以得到c(n,m+1)= n − m m + 1 \frac{n-m}{m+1} m+1n−mc(n,m)，可以以c(n,0)=1为基础在O(n)时间内递推出一行内的所有组合数的值。

void init(){c[0]=1;for(int i=1;i<=N;i++) c[i]=c[i-1]*(n-i+1)/i;//c(N,i)
}

适用条件：所需求组合数底数固定。

3.组合数取模（模数比较大且为质数时），预处理阶乘与逆元

若需要计算的组合数非常大，例如c(100000,50000)在%1e9+7下的值，采用o(n²)的杨辉三角递推显然行不通，考虑组合数的定义式 n ! m ! ( n − m ) ! \frac{n!}{m!(n-m)!} m!(n−m)!n!，可以先O(nlogmod)（mod为膜数）预处理出1-n范围内的所有阶乘与之对应的逆元，处理结束后可以在O(1)的时间内计算出范围内的任意组合数。

ll pow(ll a,ll b){ll sum=1;while(b){if(b&1) sum=sum*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return sum;
}void init(){fac[0]=fac[1]=1;for(ll i=2;i<=N;i++){fac[i]=fac[i-1]*i%mod;inv[i]=pow(fac[i],mod-2);}
}ll c(ll n,ll m){return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}

适用条件：数据范围较大且模数较大时，但单次计算具有一定常数（还包括取模运算）。

4.组合数取模（模数比较小且为质数时），Lucas定理

若需要计算的环境下膜数非常小，例如求c(n,m)%3，若直接预处理阶乘与逆元，则会发现3!之后处理出来的阶乘数据全部为0，显然得不到结果，而数据范围较大时，采用杨辉三角递推的复杂度也不合适。这时一般采用Lucas定理Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p)来计算，其中Lucas(n,m,p)表示c(n,m)%p，时间复杂度为O(plog_pn)。

ll pow(ll a,ll b){ll sum=1;while(b){if(b&1) sum=sum*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return sum;
}ll c(ll n,ll m){if(n<m) return 0;if(m>m-n) m=n-m;ll a=1,b=1;for(ll i=0;i<m;i++){a*=n-i;a%=mod;b*=i+1;b%=mod;}return a*pow(b,mod-2)%mod;
}ll lucas(ll n,ll m){if(m==0) return 1;return lucas(n/mod,m/mod)*c(n%mod,m%mod)%mod;
}

适用条件：数据范围较大且模数较小时，但单次计算具有一定复杂度。

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