海贼王之伟大航路解题报告

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描述

“我是要成为海贼王的男人！”，路飞一边喊着这样的口号，一边和他的伙伴们一起踏上了伟大航路的艰险历程。

路飞他们伟大航路行程的起点是罗格镇，终点是拉夫德鲁（那里藏匿着“唯一的大秘宝”——ONE PIECE）。而航程中间，则是各式各样的岛屿。

因为伟大航路上的气候十分异常，所以来往任意两个岛屿之间的时间差别很大，从A岛到B岛可能需要1天，而从B岛到A岛则可能需要1年。当然，任意两个岛之间的航行时间虽然差别很大，但都是已知的。

现在假设路飞一行从罗格镇（起点）出发，遍历伟大航路中间所有的岛屿（但是已经经过的岛屿不能再次经过），最后到达拉夫德鲁（终点）。假设他们在岛上不作任何的停留，请问，他们最少需要花费多少时间才能到达终点？

输入

输入数据包含多行。
第一行包含一个整数N(2 < N ≤ 16)，代表伟大航路上一共有N个岛屿（包含起点的罗格镇和终点的拉夫德鲁）。其中，起点的编号为1，终点的编号为N。
之后的N行每一行包含N个整数，其中，第i(1 ≤ i ≤ N)行的第j(1 ≤ j ≤ N)个整数代表从第i个岛屿出发到第j个岛屿需要的时间t(0 < t < 10000)。第i行第i个整数为0。

输出

输出为一个整数，代表路飞一行从起点遍历所有中间岛屿（不重复）之后到达终点所需要的最少的时间。

样例输入

样例输入1：

0 10 20 999

5 0 90 30

99 50 0 10

999 1 2 0

样例输入2：

0 18 13 98 8

89 0 45 78 43

22 38 0 96 12

68 19 29 0 52

95 83 21 24 0

样例输出

样例输出1：

100

样例输出2：

137

提示

提示：
对于样例输入1：路飞选择从起点岛屿1出发，依次经过岛屿3，岛屿2，最后到达终点岛屿4。花费时间为20+50+30=100。
对于样例输入2：可能的路径及总时间为：
1,2,3,4,5: 18+45+96+52=211
1,2,4,3,5: 18+78+29+12=137
1,3,2,4,5: 13+38+78+52=181
1,3,4,2,5: 13+96+19+43=171
1,4,2,3,5: 98+19+45+12=174
1,4,3,2,5: 98+29+38+43=208
所以最短的时间花费为137
单纯的枚举在N=16时需要14!次运算，一定会超时。

1 题目分析

将题目分析得到，我们需要解决的是，遍历整个图的所有节点，然后求出最小其权值的最小值。

2 解题思路

由于整张图中的所有点默认标号为1-16，所以我们可以采用深度优先遍历的方式来遍历整张图，然后记录下用时最短的那个时间即可。

3 存在的问题

题目中所给最大的编号是16，遍历整张图需要进行16！次操作，时间太长，绝对超时。

4 解决方案

利用深度优先的方式，在其中进行剪枝操作。

剪枝分为两种：1 可行性剪枝 2 最优性剪枝。在这里我们只用到后者。

剪枝1 如果在进行深度优先时已经花费的时间大于了已有的最优时间，那么不进行接下来的操作。

剪枝2 记录从出发点1-某个点i的状态，当两个状态相同时，如果前者花费的时间少，那么后者不需要再进行操作。

比如 1-4

状态1 ：1 2 3 4 花费时间：5

状态2 ：1 3 2 4 花费时间：8

由于比较时，前者是已经走完的，那么当后者花费时间比较大的时候，我们直接采取前者的路线即可，不需要再进行自己的操作。

5 难点

如何进行状态的存储？

利用二维数组State[i][j];i表示现在走到的岛屿编号，j代表已经走过的路线。

也许你会问j怎么代表路线呢？

我们利用二进制来存储已经走过的路线，走过就将对应位置设为1，比如：

3：11->走过1-2，i代表的则是现在停留的岛屿也就是2

问题解决代码：

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

using namespace std;

#define N 17

#define INF 1<<30

int MinTime;

int n;

//存储状态

int State[16][32800];//中间状态存储

bool IsLandSign[17];

int IsLand[N][N];

int ct;

int Min(int a,int b)

{

return a<b?a:b;

}

void dfs(int IsLandNum,int AlreadyTime,int state)

{

int i;

IsLandSign[IsLandNum]=false;

ct++;

//返回条件

if(ct==n-1)

{

MinTime=Min(AlreadyTime+IsLand[IsLandNum][n],MinTime);

return;

}

//最优化剪枝

if(AlreadyTime>=MinTime)

return;

//中间状态最优化剪枝

if(AlreadyTime<State[IsLandNum][state] || State[IsLandNum][state]==-1)

State[IsLandNum][state]=AlreadyTime;

else

{

return;

}

for(i=1;i<n;i++)

{

if(IsLandSign[i]==true)

{

dfs(i,AlreadyTime+IsLand[IsLandNum][i],state+pow(2,i-1));

ct--;

IsLandSign[i]=true;

}

int main()

{

//freopen("in.txt","r",stdin);

int i,j;

while(~scanf("%d",&n))

{

for(i=1;i<=n;i++)

{

for(j=1;j<=n;j++)

{

scanf("%d",&IsLand[i][j]);

}

memset(IsLandSign,true,sizeof(IsLandSign));

memset(State,-1,sizeof(State));

ct=0;

MinTime=1<<30;

dfs(1,0,1);

cout<<MinTime<<endl;

}

return 0;

}

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