second order cone programming

对回归问题
∥Ax−y∥\lVert Ax-y\rVert ∥Ax−y∥
的2-norm形式的worst-case情况进行求解，在问题中矩阵AAA是不确定的，设置
A=A+dA=A+d A=A+d
其中∥d∥2≤1\lVert d \rVert_2\leq 1∥d∥2≤1，该问题等价于求解
∥Ax−y∥2+∥x∥2\lVert Ax-y \rVert_2+\lVert x\rVert_2 ∥Ax−y∥2+∥x∥2
可以使用YALMIP进行求解

x = [1 2 3 4 5 6]';
t = (0:0.02:2*pi)';
A = [sin(t) sin(2*t) sin(3*t) sin(4*t) sin(5*t) sin(6*t)];
e = (-4+8*rand(length(A),1));
y = A*x+e;

使用cone命令进行手动建模SOCP

xhat = sdpvar(6, 1);
sdpvar u vF= [cone(y-A*xhat, u), cone(xhat, v)];
optimize(F, u+v);

也可以使用上图epi-graph进行建模

%% epi-graph
xhat = sdpvar(6, 1);
sdpvar u v
F=[norm(y-A*xhat, 2)<=u, norm(xhat, 2)<=v];
optimize(F, u+v);

也可以使用YALMIP直接表示

optimize([], norm(y-A*xhat, 2)+norm(xhat, 2));

robust optimization

求解目标函数
min⁡ωω′Σωs.t.{min⁡Urp≥r0\min_\omega \omega'\Sigma\omega\\ s.t.\begin{cases} \min\limits_U r_p\geq r_0 \end{cases} ωminω′Σωs.t.{Uminrp≥r0
其中，Σ\SigmaΣ是一个正定矩阵，ω\omegaω为权重向量，且∑ωi=1\sum\omega_i=1∑ωi=1，rp=α′ωr_p=\alpha'\omegarp=α′ω,UUU是以α\alphaα为球心的半径为∣X∣α|\mathcal{X}|\alpha∣X∣α的球，其中0<X<10<\mathcal{X}<10<X<1.
使用YALMIP建模求解

n = 10;
alpha = randn(10,1);
S = randn(10);S = S'*S;
kappa = 0.01;
r0 = .01;
w = sdpvar(n,1);
Objective = w'*S*w;
Budget = [w >= 0, sum(w)==1];
Robust = [w'*alpha - kappa*norm(alpha)*norm(w) >= r0]; % 加入robust性约束条件
solvesdp([Budget,Robust], Objective)
double(w)

YALMIP的内部框架支持自动化建模

w = sdpvar(n,1);
U = sdpvar(n,1);
rp = alpha + kappa*norm(alpha)*U;
Objective = w'*S*w;
Budget = [w >= 0, sum(w)==1];
Uncertainty = [rp'*w >= r0, uncertain(U), U'*U <= 1];
solvesdp([Budget,Uncertainty], Objective)

假设UUU在盒状约束不确定性中，可以建模如下

w = sdpvar(n,1);
U = sdpvar(n,1);
rp = alpha + kappa*norm(alpha)*U;
Objective = w'*S*w;
Budget = [w >= 0, sum(w)==1];
Uncertainty = [rp'*w >= r0, uncertain(U), -1 <= U <= 1];
solvesdp([Budget,Uncertainty], Objective)

如果安装了一些高效率求解器如(gurobi, cplex或者mosek)等，可以加入势约束(cardinality constraint)进行MIP问题求解

w = sdpvar(n,1);
U = sdpvar(n,1);
rp = alpha + kappa*norm(alpha)*U;
Objective = w'*S*w;
Budget = [w >= 0, sum(w)==1];
Uncertainty = [rp'*w >= r0, uncertain(U), -1 <= U <= 1];
solvesdp([Budget,Uncertainty,nnz(w)<=3], Objective) % 加入cardinality constraint

References

robust optimization using fmincon in Matlab
SOCP YALMIP
A Sharper Angle on Optimization

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