锥，凸锥，二阶锥，二阶锥规划

优化理论稍微深入些，就会涉及到锥这个概念，甚至还有专门的锥优化这个研究领域。我一直很奇怪锥到底是什么，准备查阅相关资料，将自己的理解写到博客里面。

文章目录

1. 锥（cone）
2. 凸锥（convex cone）
3. 标准锥（norm cone）
4. 二阶锥（second order cone）
5. 二阶锥规划（second order cone programming，SOCP）
- 5.1 二次凸规划

1. 锥（cone）

对于一个向量空间 VVV 与它的一个子集 CCC，如果子集 CCC 中的任意一点 xxx 与任意正数 aaa，其乘积 axaxax 仍然属于子集 CCC，则称 CCC 为一个锥。

若向量空间为3维，满足定义的图像确实像一个锥，我猜这应该是它叫锥的原因。

根据定义，一个锥总是无界的。

2. 凸锥（convex cone）

若一个锥 CCC 中任意两点 xxx 与 yyy，以及任意两个正数 aaa 与 bbb，都有 ax+byax+byax+by 属于 CCC，则该锥为凸锥。

显然上图也是一个凸锥。根据定义，凸锥也是一个凸集。
是否存在一个不是凸锥的锥？典型的例子：
y=∣x∣y=|x|y=∣x∣
一个点（-2， 2），另一个点（1，1），它们的和（-1, 3）不在图形里。它的图形：

但是 y≥∣x∣y\geq |x|y≥∣x∣ 就是一个凸锥

3. 标准锥（norm cone）

一个 n 维标准锥是满足下列条件的集合：
C={(x,t)∣∥x∥≤t,x∈Rn−1,t∈R}C=\left\{(x, t)\mid \|x\|\leq t, x\in\mathbb{R^{n-1}}, t\in\mathbb{R}\right\}C={(x,t)∣∥x∥≤t,x∈Rn−1,t∈R}
标准锥是一个凸锥。（标准锥里面的变量不仅包括 xxx，还包括 ttt.）

4. 二阶锥（second order cone）

二阶锥规划是一种非常特殊的非线性优化，有非常高效的求解算法，非常有必要了解一下什么是二阶锥。所谓二阶是指锥里面用到的是二范数，下面的表达式表示一个二阶锥。
∥Ax+b∥2≤cTx+d\|Ax+b\|_2\leq c^Tx+d∥Ax+b∥2≤cTx+d

二阶锥相当于对标准锥 C={(x,t)∣∥x∥2≤t,t≥0}C=\{(x,t)\mid \|x\|_2\leq t, t\geq 0\}C={(x,t)∣∥x∥2≤t,t≥0} 做了一个仿射变换：
∥Ax+b∥2≤cTx+d⟺(Ax+b,cTx+d)∈C\|Ax+b\|_2\leq c^Tx+d\Longleftrightarrow\Big(Ax+b, c^Tx+d\Big)\in C∥Ax+b∥2≤cTx+d⟺(Ax+b,cTx+d)∈C
根据仿射变换的性质，变换后凹凸性不变，因此二阶锥仍然是一个凸锥。
注：对向量 xxx 仿射变换(相当于将一个图形平移，或变大变小，或旋转，或倒影）：y=Ax+by=Ax+by=Ax+b，其中 AxAxAx 表示对 xxx 变大或变小或旋转倒影，而 +b+b+b 表示平移。

5. 二阶锥规划（second order cone programming，SOCP）

很多问题都可以转化为二阶锥规划来求解，而二阶锥规划能够使用内点法很快求解。

5.1 二次凸规划

二次规划可以转化为二阶锥规划。一个二次凸规划表达式：
XTAX+qTx+c≤0X^TAX+q^Tx+c\leq 0XTAX+qTx+c≤0
转化成下面的二阶锥：
∥A1/2x+12A−1/2q∥2≤14qTA−q−c\left\|A^{1/2}x+\frac{1}{2}A^{-1/2}q\right\|_2\leq \sqrt{\frac{1}{4}q^{T}A^-q-c}∥∥∥∥A1/2x+21A−1/2q∥∥∥∥2≤41qTA−q−c
就能使用二阶锥规划求解了。