最短路计数（dp+最短路）

Description

给出一个 n 个顶点 m 条边的无向无权图，顶点编号为 1 到 n。

问从顶点 1 开始，到其他每个点的最短路有几条。

Input

第一行 2 个正整数 n, m ( 1 ≤ n ≤ 105 , 1 ≤ m ≤ 2×105 ) ，为图的顶点数与边数。

接下来 m 行，每行两个正整数 x, y，表示有一条顶点 x 连向顶点 y 的边，请注意可能有自环与重边。

Output

n 行，每行一个非负整数，第 i 行输出从顶点 1 到顶点 i 有多少条不同的最短路，由于答案有可能会很大，你只需要输出对 100003 取模后的结果即可。

如果无法到达顶点 i 则输出 0。

Sample Input

5 7
1 2
1 3
2 4
3 4
2 3
4 5
4 5

Sample Output

1
1
1
2
4

首先这道题目求的是最短路的数量
我们考虑用dp计算方案数，
设dist[i]数组记录从起点到各节点的最短路径
设cnt[i]数组记录从起点到各节点最短路径的数量

当我们在求最短路枚举邻边时:
如果dist[j]>dist[t]+w[i],那么更新dist[j]后,cnt[j]=cnt[t]
如果dist[j]=dist[t]+w[i],说明j的最短路已经被更新过了,现在又出现了和最短路相等的路径，所以cnt[j]=cnt[j]+cnt[t]

而dp要求状态转移的关系必须满足一个性质：每个状态所依赖的子集里的各种情况都必须枚举考虑到，保证当前状态最优后再去更新其它状态

求最短路的算法有bfs,dijkstra,Bellman_ford(spfa),我们逐个分析是否满足dp特性：
bfs算法是每次往外扩一层的，每个状态的子集都有被考虑到，因此满足性质，可以使用
dijkstra算法每次都是用已经确定的最短路去更新其它状态，因此每个状态都是由最优状态去更新的，满足性质，可以使用
spfa算法会出现当前状态的子集没有全部考虑到就更新其它状态的情况，所以不满足性质

spfa举例如下：

在这个图里有两条长度相等的路径,d节点的最短路径数量为2
如果用spfa算法的话：
a节点会首先更新c节点，因为dist[c]>dist[a]+w[i],所以cnt[c]=cnt[a]=1
其次c节点更新d节点，因为dist[d]>dist[c]+w[i],所以cnt[d]=cnt[c]=1
而路径1节点多，走的较慢，当枚举到b时，因为dist[c]=dist[b]+w[i],所以cnt[c]=cnt[c]+cnt[b]=2，但是这个时候c节点的dist[c]没有被更新，所以无法入队，导致d节点没办法被再次更新，最终cnt[d]=1是错的

在这个例子中，c没有考虑a和b后再去更新d，而是只考虑了a就去更新d，违法了“每个状态所依赖的子集必须先算出来再去更新其它状态”的dp特性，没有用最优状态去更新d，所以是错的

如果题目里出现负权边，就舍弃dijkstra算法用bfs求即可

附上bfs代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
#define N 100020
#define M 400020
#define mod 100003int h[N], e[M], ne[M], idx;
void add(int a, int b) {e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}int n, m;
int dist[N], st[N], cnt[N];
void bfs() {memset(dist, 0x3f, sizeof dist);memset(st, 0, sizeof st);dist[1] = 0; cnt[1] = 1;queue<int>q;q.push(1);while (q.size()) {int t = q.front();q.pop();for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {int j = e[i];if (dist[j] > dist[t] + 1) {dist[j] = dist[t] + 1;cnt[j] = cnt[t];q.push(j);}else if (dist[j] == dist[t] + 1)cnt[j] = (cnt[j] + cnt[t]) % mod;}}
}int main() {memset(h, -1, sizeof h);scanf("%d%d", &n, &m);int a, b;for (int i = 0; i < m; i++) {scanf("%d%d", &a, &b);add(a, b); add(b, a);}bfs();for (int i = 1; i <= n; i++)printf("%d\n", cnt[i]);return 0;
}

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