数论基础——数论函数(1)
**内含学习莫比乌斯所必须的数论函数,Dirichlet乘积(以及广义),莫比乌斯函数,欧拉函数,积性函数,莫比乌斯变换及反变换。
1.数论函数举例
定义1:在全体正整数(或者整数)上定义的函数称作数论函数或是算术函数。
也就是说只要定义在整数上面的函数都是数论函数咯?终于明白数论函数是个什么鬼东东
下面是定义在全体自然数集合上的数论函数
1)
常函数:
u(n)≡1 n≥1
单位函数:
e(n)=n n≥1
单位元(幺元):
以下2~4均是建立在算数基本定理即数字的质因数分解之上
2)因子个数
n=p1^a1*p2^a2*p3^a3……
n的所有正除数的个数d(n)==(a1+1)(a2+1)(a3+1)……
此为算法中,求解一个数的因子的个数的由来。
证明过程:
n=p1^a1*p2^a2*p3^a3
所以任意n的正除数一定也是由这几个p构成。已知p的指数,每一个除数都可以选择指数+1种数字作为pi的指数,所以一共有d(n)个。
通常我们称d(n)为除数函数。
3)全部素因子个数
n的全部素因子的个数(按重数计)Ω(n)
Ω(1)=0
Ω(n)=a1+a2+a3+……+as
4)不同素因子个数
n的不同素因子的个数ω(n)
ω(1)=0;
ω(n)=s;
5)额
n的正整数的幂和函数σλ(n),λ为实数
σλ(n)=
不知道是个啥玩意,搜百度也找不到
6)Euler函数
所有不超过n的与n互质的数的个数φ(n),称为Euler函数。
相当的重要,做过的题也不少了,Euler函数一直会变着法子考你
重点代码为:
res=res/i*(i-1);
7)Mоbius函数μ(n)
8)Mangoldt函数(n)
9)Liouville函数λ(n)
λ(n)=(-1)^Ω(n)
注:Ω(n)是上方的素因子个数的函数
2 Dirichlet乘积
原来它只是对数论函数的一个运算而已!!!
数论函数有种重要的运算称作Dirichlet乘积或者卷积,其定义如下:
定义2:设f(n),g(n)是两个数论函数,则
称为f(n)或是g(n)的Dirichlet乘积或是卷积,记作
好看一点就是
定理1:设f,g,h为任意三个数论函数,则
满足结合律和交换律
下面为莫比乌斯函数一个重要的性质,是Dirichlet卷积的结果
由Dirichlet我们可以进行一些有意思的推导,比如:
等于莫比乌斯函数和的乘积,I(n)就是单位元(离散数学里面刚刚学的幺元!!!激动!!)。
即
根据幺元的性质,他俩是互为逆元的。
所以就是函数的变换,下面会有这个性质
得
我可以证明他成立,但是不知道他是怎么写出来的?
证明过程:
由二项式定理
得此公式的解为
由此得出,除了当s=0时(即n=1时)可以得到1以外,其他的情况答案均为0。
证毕。
定义3:设f(n)为数论函数,若存在一个数论函数g(n)使得
则称g(n)为f(n)的Dirichlet逆,记作
定理2:为卷积中的单位元(单位元是不是唯一来着?),即
证:
第一步是因为Dirichlet的定义式
第二部是因为是单位元,除了1之外都是0,巧的是n除以n的约数一直是1鸭(你说巧不巧?)
定义4:
(是常数函数来着)
若则称为的Mbius变换,亦即
例如:
为的变换,所以当时的啊
而为的变换
定理3:若,则.
证:
定理3表明,若
则
此时我们称为的反变换。
反变换唯一
证明:
设也是F的反变换,则
矛盾
反变换唯一
反演:
如果与是函数
所进行的反变换行为被称作反演。
变换的例子:
1)e(n)为欧拉函数的变换
即
由定理3反变换可知:
2)为Mangoldt函数的变换
即
由定理3得:
关于函数以及变换和反变换的应用,本小可爱还在思索,于是决定看一下博客,首先强化一下对函数的深刻理解,其次是了解题型,懂得最简单的应用,最后是熟悉模板,了解如何从理论化为实践。
3.可乘函数(积性函数)
定义5:设f(n)为定义在全体自然数上且不恒等于0的数论函数(感觉所有的数论函数都满足可以是?),若他满足条件:
则称之为可乘函数(积性函数),若对任意mn都满足
则称之为完全(绝对)可乘函数。
,为可乘函数,,为完全可乘函数。
证明不想写进来啦啦啦啦,太懒了。
的是利用了之前证明它等于1/0的时候的想法,很简单。
就是质因子的数目,想想就相同鸭
由可乘函数的定义可知,,是可乘函数时,和都是可乘函数。
定理4:
可乘函数有如下性质:
1.
2.,
3.为完全可乘函数的充要条件是对任意的以及,恒有
4,的莫比乌斯变换亦为可乘函数。
推论1:设可乘,则
这里的符号“||”不知道什么意思……看不懂,哎,跳过。
定理5: 若函数为可乘函数
可乘函数定义建立在它之上,加上最大公约数等于一 的条件。
定理6:
- 若可乘,可乘,则可乘
- 若g可乘,f*g可乘,则f可乘
定理7:
设为满足的数论函数,则一定存在唯一的Dirichlet逆,它由下方公式求出
,
后面的感觉没啥用,就没在整理,主要是时间不够了hhh
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