`杂谈`

kuangbin14数论Harmonic Number LightOJ - 1234
分段打表 + 欧拉爷爷o（1）.(第一次触及了欧拉常熟)

`10.1.1 && 10.1.2` 欧几里德算法、唯一分解定理、筛法、快速幂

唯一分解定理（sqrt（n）sqrt（n）sqrt（n））

vector<int>prime,prime_num;
int sum, cnt;
void divide(int x){prime.clear();prime_num.clear();for(int i = 2; i * i <= x; i++){if(x%i==0){prime.pb(i); cnt = 0;while(x%i == 0){x /= i;cnt++;}prime_num.pb(cnt);}}if(x>1){prime.pb(x); prime_num.pb(1);}
}

`约数个数&&约数之和`

n=p1a1p2a2p3a3...pnann = {p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}{p_3}^{a_3}...{p_n}^{a_n}n=p1a1p2a2p3a3...pnan
约数个数
ans(n)=(a1+1)(a2+1)(a3+1)...(an+1)ans(n) = (a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)...(a_n+1)ans(n)=(a1+1)(a2+1)(a3+1)...(an+1)
约数之和
ans=(p10+p11+...p1a1)(p20+p21+p2a2)...(pn0+pn1+pnan)ans = ({p_1}^{0}+{p_1}^{1}+...{p_1}^{a_1})({p_2}^{0}+{p_2}^{1}+{p_2}^{a_2})...({p_n}^{0}+{p_n}^{1}+{p_n}^{a_n})ans=(p10+p11+...p1a1)(p20+p21+p2a2)...(pn0+pn1+pnan)

int内最多的约数个数为1536
1-n内的所有约数个数，ans=n1+n2+n3+...+nnans=\frac{n}{1}+\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+...+\frac{n}{n}ans=1n+2n+3n+...+nn,调和级数，加欧拉常数。欧拉常数，在这篇blog有

判断质数

bool isprime(int n){if(n<2)return false;for(int i = 2; i <= n/i; i++){if(n%i == 0)return false;}return true;
}

埃氏筛法(nloglognnloglog_nnloglogn)

const int maxn = 1e6+10;
int vis[maxn];
vector<ll> prime_orl;
void table(){for(int i = 2; i < maxn; i++){if(!vis[i]){prime_orl.pb(i);for(int j = 2*i; j<maxn; j += i)vis[j] = 1;}}
}

线性筛法(nnn)

注意事项，那种`除法判断边界`，一定要加`==`

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =1e6+10;
bool st[N];
int primes[N], cnt;
int table(int n){cnt = 0;st[1] = 1;//注意这里！！！！！for(int i = 2; i <= n; i++){if(!st[i])primes[cnt++] = i;for(int j=0; i<=n/primes[j]; j++){//注意这里要是ist[i*primes[j]] = 1;if(i%primes[j]==0)break;}}return cnt;
}
int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0); cout.tie(0);int n; cin>>n;cout<<table(n)<<endl;return 0;
}

`证明`

n只会被最小质因子筛掉。

iii % pj==0p_j == 0pj==0
pjp_jpj一定是iii的最小质因子，pjp_jpj一定是pj∗ip_j*ipj∗i的最小质因子。
iii % pj!=0p_j != 0pj!=0
pjp_jpj一定小于iii的所有质因子，pjp_jpj也一定是pj∗ip_j*ipj∗i的最小质因子。
对于一个合数x，假设pjp_jpj是x的最小质因子，当iii枚举到x/pjx/p_jx/pj的时候，一定被筛掉。

快速幂（logk）

分析

aka^kak
可以拆成,a20,a21,a22,a23,...a2logk,a^{2^0},a^{2^1},a^{2^2},a^{2^3},...a^{2^{log_k}},a20,a21,a22,a23,...a2logk
之后再看k的二进制下，是否有1，有就乘上相应的权重。（我悟了。。。）

ll pow(ll x, ll p, ll mod){ll res = 1;while(p){if(p&1)res =  res * x % mod;p >>= 1;x = x * x %mod;}return res;
}

gcd(logn)

d∣ad|ad∣a 和d∣bd|bd∣b 那么 d∣a+bd|a+bd∣a+b,那么d∣ax+byd|ax+byd∣ax+by
即对于a%b = a−⌊ab⌋∗ba-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor * ba−⌊ba⌋∗b
另c=⌊ab⌋c = \lfloor \frac{a}{b}\rfloorc=⌊ba⌋，那么a%b=a-c*b;
即证明gcd（a，b）=gcd（b，a%b）；

int gcd(int a, int b){if(b == 0) return a;return gcd(b, a%b);
}

`费蜀定理`

对于任意正整数a，b，一定存在非零整数x，y，使得ax+by=（a，b）。

exgcd

a mod b = a−⌊ab⌋∗ba-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor *ba−⌊ba⌋∗b
对于ax+by=（a，b），可得by + （a−⌊ab⌋∗ba-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor *ba−⌊ba⌋∗b）x = （a，b）
那么整理得ax + b（y-⌊ab⌋∗x\lfloor \frac{a}{b} \rfloor *x⌊ba⌋∗x） = （a，b）。

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){if(b == 0){x = 1;y = 0;return a;}int d = exgcd(b,a%b, y, x);y -= a/b*x;return d;
}

上式只可以求出一个解,但是有了一个解后，可以求出多个解。

x=x0+k∗bdx=x_0+k*\frac{b}{d}x=x0+k∗db
y=y0−k∗ady=y_0-k*\frac{a}{d}y=y0−k∗da

求正`整数解`’

1.对于一个方程ax+by=c，任意一个解可以写成。
2. （x0∗cg+k∗bgx_0*\frac{c}{g} + k*\frac{b}{g}x0∗gc+k∗gb，y0∗cg−k∗agy_0*\frac{c}{g} - k*\frac{a}{g}y0∗gc−k∗ga）
3. 对于二式中x0x_0x0和y0y_0y0为ax+by=（a，b）的解。

假如求出来的x为负，那么可以( x%bg\frac{b}{g}gb+ bg\frac{b}{g}gb )% bg\frac{b}{g}gb
更加一般地( x%b+ b )% b

exgcd的`应用`，解线性同余方程组。

ax ≡b\equiv b≡b( mod m)
等价于
ax = ym + b
另y′=−yy' = -yy′=−y
即ax+y′m=bax +y'm = bax+y′m=b
上式子有解当且仅当 (a,m)∣b(a,m)|b(a,m)∣b
模线性方程组

exgcd的一个`应用求逆元`.(p不是质数时,用这种方法)

ax≡\equiv≡ 1(mod p)

鄙人，之于exgcd地一点体会（下面有一道中国剩余定理的不互质版本，可以结合使用）

首先对于一个方程组，exgcd求完后，相当于求出了m1在模m2下的逆元

对于一个求完的解，根据上式子说明只是 x∗m1≡1(modm2)x*m1\equiv1(\mod m2)x∗m1≡1(modm2)时的一个解，所以记得扩大。(下面用只有两个方程组的crt来说明)

long long  x = (a1-a2)/g*in%(m2/g) + (m2/g)) % (m2/g);//crtx = x*m1 + a;

kuangbin14数论Prime Independence LightOJ - 1356
本题考察了质因数分解和 二分图最大匹配
kuangbin14数论Aladdin and the Flying Carpet LightOJ - 1341
本题考察了质因数分解 和筛法。
kuangbin14数论Sigma Function LightOJ - 1336
唯一分解+思维+等比数列求和公式。
kuangbin14数论Pairs Forming LCM LightOJ - 1236
唯一分解&&LCM
kuangbin14数论Leading and Trailing LightOJ - 1282
快速幂 + 数学log
kuangbin14数论[Goldbachs Conjecture LightOJ - 1259 ](https://blog.csdn.net/qq_45377553/article/details/109787932) 筛法水题（注意时间和空间`）
easy870. 约数个数
乘法原理&&质因数分解。
easy871. 约数之和(乘法原理&&unordered_map＜int,int＞）
乘法原理&&质因数分解。
normal 质数中的质数（质数筛法） 51Nod - 1181
两次线性筛法 + 范围的限定
difficult分解质因数 LibreOJ - 6466
椭圆质因数分解&&int128
difficult质数检测 V2 51Nod - 1186
java很容易，c++要写大数（当然__int128也可以）和随机算法
difficult 204. 表达整数的奇怪方式
中国剩余定理。

`10.2.2`欧拉函数

phi[n] 。1-n里与n互质的个数。

const int maxn = 1e6+10;
ll phi[maxn];
ll a[maxn];
void table(int n){fori(i,2,maxn)phi[i] = 0;phi[1] = 0;///initfori(i,2,maxn){if(!phi[i]){for(int j = i; j <maxn; j += i){if(!phi[j])phi[j] = j;phi[j] = phi[j] / i * (i-1);}}}
}

线性筛法求phi

ll get_euluer(int n){phi[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; i ++ ){if(!st[i]){primes[cnt++] = i;phi[i] = i-1;}for(int j = 0; i <= n/primes[j]; j ++ ){st[i*primes[j]] = true;if(i % primes[j] == 0){phi[i*primes[j]] = phi[i] * primes[j];break;}phi[i*primes[j]] = phi[i]*(primes[j] - 1);}}
}

`相关证明`（y总笔记）

欧拉函数`相关应用`。(欧拉定理)

假如n与a互质。
aφ(n)≡1a^{\varphi(n)}\equiv1aφ(n)≡1(mod n)

证明

假设1-n中，与n互质的数有x1,x2,..,xφ(n)x_1,x_2,..,x_{\varphi{(n)}}x1,x2,..,xφ(n),总共φ(n)\varphi{(n)}φ(n)个

那么也有a∗x1,a∗x2,..,a∗xφ(n)a*x_1,a*x_2,..,a*x_{\varphi{(n)}}a∗x1,a∗x2,..,a∗xφ(n)，这φ(n)\varphi(n)φ(n)个，也与n互质。

3.由于1中也是两两不同，所以1的累乘和2的累乘同余。
即a∗x1∗a∗x2∗..∗a∗xφ(n)≡x1∗x2∗..∗xφ(n)a*x_1*a*x_2*..*a*x_{\varphi{(n)}} \equiv x_1*x_2*..*x_{\varphi{(n)}}a∗x1∗a∗x2∗..∗a∗xφ(n)≡x1∗x2∗..∗xφ(n)(mod n)
即aφ(n)∗x1∗x2∗..∗xφ(n)≡x1∗x2∗..∗xφ(n)a^{\varphi(n)}*x_1*x_2*..*x_{\varphi{(n)}} \equiv x_1*x_2*..*x_{\varphi{(n)}}aφ(n)∗x1∗x2∗..∗xφ(n)≡x1∗x2∗..∗xφ(n)(mod n)
即证aφ(n)≡1a^{\varphi(n)}\equiv1aφ(n)≡1(mod n)

`费马`小定理

假如n与a互质。
aφ(n)≡1a^{\varphi(n)}\equiv1aφ(n)≡1(mod n)
这里n为质数时，那么an−1≡1a^{n-1}\equiv1an−1≡1(mod n)

对于3）更加一般地：ax≡axmodn−1(modn)a^x\equiv a^{x \mod n-1}(mod n)ax≡axmodn−1(modn)

`费马`小定理的应用，`求逆元`

对于b∗x≡1b*x\equiv1b∗x≡1（mod p）

假如p是质数，那么有b1∗bp−2=bp−1≡1{b}^{1} *{b}^{p-2} = {b}^{p-1} \equiv 1b1∗bp−2=bp−1≡1(mod p)
不存在逆元的情况，b是的倍数，怎样算左边都为0.

kuangbin14数论Bi-shoe and Phi-shoe LightOJ - 1370
就是欧拉函数的模板。
紫薯eg题10-7Send a Table UVA - 10820
有点思维的运用欧拉函数。。。
紫薯eg题10-27Trees in a Wood. UVA - 10214
在上一题的基础上的拓展 + 暴力思想 + gcd的思想
紫薯eg题10-26Help Tomisu UVA - 11440
运用了欧拉函数的定义 + gcd的思想 + 思维 + 递推
easy easy数论五·欧拉函数 HihoCoder - 1298
模板题，线性筛欧拉函数
hard AcWing 204. 表达整数的奇怪方式
中国剩余定理的推导，难在推导。

`10.6`紫薯以外数学模块

`10.6.1` 高斯消元（O(n3n^3n3)）

解形如上图形式的方程组（唯一解、无穷解、无解）
三种初等行列变换

把某一行乘一个非零的数

交换某两行

把某行的若干倍加到另一行去

高斯消元，实际是把方程组通过 初等行列变换，变成上三角的形式。

完美阶梯型--------------------------------------------------------------------------------------------------------有唯一解

0 = 非零 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------无解

0 = 0 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------无穷多组解

高斯消元的步骤

枚举每一列c
1）找到绝对值最大的一行。
2）将改行换到最上面
3）将该行第一个数变成1
4）将下面所有行的第c列消成0.

代码实现

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
typedef double db;
const db eps=  1e-6;
db a[N][N];
int n;
int gauss(){int r = 1, c = 1;for(r = 1, c = 1; c <= n;  c++ ){int t = r;for(int i = r;  i <= n; i ++ )if(fabs(a[i][c])>fabs(a[t][c])) t = i;if(fabs(a[t][c])<eps)continue; //当前列为0.//把系数最大的换到最上面for(int j = c; j <= n+1; j++) swap(a[r][j],a[t][j]);//把系数置为1for(int j = n+1; j>= c; j --) a[r][j]/=a[r][c];//把下面所有的系数都changefor(int i = r+1; i <= n; i ++ ){if(fabs(a[i][c])>eps )for(int j = n+1; j >= c; j -- )a[i][j]-=a[r][j]*a[i][c];}r++;}if(r<=n){for(int i = r; i <=n; i ++ ){if(fabs(a[i][n+1])>eps)return 2;}return 1;}for(int i = n-1; i >= 1; i -- ){for(int j = i+1; j <= n; j++)a[i][n+1]-=a[i][j]*a[j][n+1];}return 0;
}
int main(){scanf("%d", &n);//cin>>n;for(int i = 1;  i <= n; i ++ ) for(int j = 1; j <= n+1;  j++ )scanf("%lf", a[i]+j);int pat = gauss();if(pat == 2)puts("No solution");else if(pat==1)puts("Infinite group solutions");else {for(int i = 1; i <= n; i ++ )printf("%.2f\n", a[i][n+1]);}return 0;
}

记得补充一道eg

`10.6.2` 组合数

递推写法(n2n^2n2)

const int N = 2100;
const int mod = 1e9+7;
int c[N][N];
void init(){for(int i = 0; i <N; i ++){for(int j =0; j <=i; j ++ ){if(!j) c[i][j] = 1;else c[i][j] = (c[i-1][j] + c[i-1][j-1])%mod;}}
}

预处理写法O(n) （假如求逆时，在for循环内就是 O(NlogNlog_NlogN) ）

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e5+10, mod = 1e9+7;
int fac[N], invfac[N];
int qpow(int a, int k, int p){int res = 1;while(k){if(k&1) res = (LL) res*a%mod;a = (LL)a*a%mod;k>>=1;}return res;
}
void init(){fac[0] = 1;for(int i =1; i <N; i ++)fac[i] = (LL)fac[i-1]*i%mod;invfac[N-1] = qpow(fac[N-1], mod-2, mod);for(int i = N - 2; i >=0; i --) invfac[i] = (LL)invfac[i+1]*(i+1)%mod;
}
int C(int a, int b){return (LL)fac[a]*invfac[a-b]%mod*invfac[b]%mod;
}int A(int a, int b){return (LL)C(a,b)*fac[b]%mod;
}

Lucas （一般说法：logpN∗p∗logplog_pN*p*log_plogpN∗p∗logp，当然也可以预处理出[1,p][1,p][1,p]的逆元）
附上y总的证明（数据范围 a,b<=1018,p<=105a,b<=10^{18}, p<=10^{5}a,b<=1018,p<=105）

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int p;
int qpow(int a, int k){int res = 1;while(k){if(k&1) res = (LL)res*a%p;a = (LL)a*a%p;k>>=1;}return res;
}
int C(int a, int b){int res  =1;for(int i =1, j =a; i<=b; i ++, j--){res = (LL)res*j%p;res = (LL)res*qpow(i,p-2)%p;}return res;
}
int Lucas(LL a, LL b){if(a<p&&b<p) return C(a,b);return (LL)C(a%p,b%p)*Lucas(a/p,b/p)%p;
}

高精度求组合数（用了阶乘的分解质因子，）

AC

# include <bits/stdc++.h>
# define sz(a) (int)a.size()
using namespace std;
const int N  =5100;
vector<int> primes;
bool st[N+1];
void sieve(){st[1] = 1;for(int i = 2; i <= N; i ++){if(!st[i])primes.push_back(i);for(int j = 0; i <=N/primes[j];  j ++ ){st[i*primes[j]] = 1;if(i%primes[j]==0)break;}}
}
int getSum(int a, int p){int res = 0;while(a){res += a/p;a/=p;}return res;
}
int sum[N];//高精度乘法
vector<int> mul(vector<int>a, int p){vector<int> res;int t = 0;for(int i = 0; i <sz(a); i ++ ){t+=a[i]*p;res.push_back(t%10);t/=10;}while(t){res.push_back(t%10);t/=10;}return res;
}
int main(){int a, b;scanf("%d%d", &a, &b);sieve();for(int i = 0; i <sz(primes); i ++ ){int p = primes[i];sum[i] = getSum(a,p)-getSum(a-b,p)-getSum(b,p);}vector<int>res;res.push_back(1);for(int i = 0 ; i< sz(primes); i ++ ){for(int j = 1; j <=sum[i]; j ++ )res=mul(res,primes[i]);}for(int i = sz(res)-1; i >=0 ;  i-- )cout<<res[i];return 0;
}

卡特兰数
ans = C2nn−C2nn−1C_{2n}^{n} - C_{2n}^{n-1}C2nn−C2nn−1 = C2nnn+1\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}n+1C2nn.

（y总的笔记）

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod =1e9+7;
int qpow(int a, int k,  int p){int res = 1;while(k){if(k&1) res=(LL)res*a%p;a=(LL)a*a%p;k>>=1;}return res;
}
int main(){int n;scanf("%d", &n);int a = 2*n, b = n;int res = 1;for(int i = a; i > a-b; i -- )res=(LL)res*i%mod;for(int i = 1; i <=b; i ++ )res= (LL)res*qpow(i,mod-2,mod)%mod;res = (LL)res*qpow(n+1,mod-2,mod)%mod;cout<<res<<endl;return 0;
}

补充一道火车进栈

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紫薯第10章数学 kaungbin专题14数论基础

`杂谈`

`10.1.1 && 10.1.2` 欧几里德算法、唯一分解定理、筛法、快速幂

唯一分解定理（sqrt（n）sqrt（n）sqrt（n））

`约数个数&&约数之和`

判断质数

埃氏筛法(nloglognnloglog_nnloglogn)

线性筛法(nnn)

注意事项，那种`除法判断边界`，一定要加`==`

`证明`

n只会被最小质因子筛掉。

快速幂（logk）

分析

gcd(logn)

`费蜀定理`

exgcd

上式只可以求出一个解,但是有了一个解后，可以求出多个解。

求正`整数解`’

exgcd的`应用`，解线性同余方程组。

exgcd的一个`应用求逆元`.(p不是质数时,用这种方法)

鄙人，之于exgcd地一点体会（下面有一道中国剩余定理的不互质版本，可以结合使用）

`10.2.2`欧拉函数

线性筛法求phi

`相关证明`（y总笔记）

欧拉函数`相关应用`。(欧拉定理)

证明

`费马`小定理

`费马`小定理的应用，`求逆元`

`10.6`紫薯以外数学模块

`10.6.1` 高斯消元（O(n3n^3n3)）

`10.6.2` 组合数

AC

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约数个数&&约数之和

判断质数

埃氏筛法(nloglognnloglog_nnloglogn​)

线性筛法(nnn)

注意事项，那种除法判断边界，一定要加==

证明

n只会被最小质因子筛掉。

快速幂（logk）

分析

gcd(logn)

费蜀定理

exgcd

上式只可以求出一个解,但是有了一个解后，可以求出多个解。

求正整数解’

exgcd的应用，解线性同余方程组。

exgcd的一个应用求逆元.(p不是质数时,用这种方法)

鄙人，之于exgcd地一点体会（下面有一道中国剩余定理的不互质版本，可以结合使用）

10.2.2欧拉函数

线性筛法求phi

相关证明（y总笔记）

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费马小定理

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注意事项，那种`除法判断边界`，一定要加`==`

`证明`

`费蜀定理`

求正`整数解`’

exgcd的`应用`，解线性同余方程组。

exgcd的一个`应用求逆元`.(p不是质数时,用这种方法)

`10.2.2`欧拉函数

`相关证明`（y总笔记）

欧拉函数`相关应用`。(欧拉定理)

`费马`小定理

`费马`小定理的应用，`求逆元`

`10.6`紫薯以外数学模块

`10.6.1` 高斯消元（O(n3n^3n3)）

`10.6.2` 组合数