强烈推荐：大佬的博客：数论算法详解，超详细

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https://www.zhihu.com/question/379824357/answer/1088257294

一.欧几里得算法

辗转相除法，又名欧几里德算法（Euclidean algorithm），是求最大公约数的一种方法。

int gcd(int a, int b)
{if(b == 0) return a;return gcd(b, a%b);
}

有不懂的或者想了解更多的可以点击下方链接
详解及其拓展应用链接

二.扩展欧几里得算法

1.扩展欧几里得

扩展欧几里得算法：对于整数aaa，bbb，必定存在整数对xxx，yyy满足
ax+by=gcd(a,b)ax+by=gcd(a, b)ax+by=gcd(a,b)

扩展欧几里得原理

要求ax+by=gcdax+by=gcdax+by=gcd的整数解x,y,x,y,x,y,假设已经求得了bx′+(abx'+(a%b)y'=gcdbx′+(a的整数解 x′x'x′和y′y'y′，再将aa%b=a-(a/b)*ba带入，有ay′+b(x′−(a/b)∗y′)=gcd，ay'+b(x'-(a/b)*y')=gcd，ay′+b(x′−(a/b)∗y′)=gcd，于是我们就得到了(x,y)(x,y)(x,y)和(x′,y′)(x',y')(x′,y′)之间的关系:x=y′,y=x′−(a/b)∗y′x=y',y=x'-(a/b)*y'x=y′,y=x′−(a/b)∗y′。而当b=0b=0b=0时，gcd=a，gcd=a，gcd=a，此时有x=1,y=0.x=1,y=0.x=1,y=0.通过类似于辗转相除法的递归过程，不断地迭代，可得到ax+by=gcdax+by=gcdax+by=gcd的一个正整数解，我们可将它称为特解，同时得到gcdgcdgcd的值。

定理

定理1：gcd(a,b)==gcd(b,a%b)gcd(a,b)==gcd(b,a\%b)gcd(a,b)==gcd(b,a%b)这个是欧几里得提出并证明的。 (%\%%是取余的意思，在数学中可用modmodmod表示)；

定理2:a∗x+b∗y==gcd(a,b)a*x + b*y ==gcd(a,b)a∗x+b∗y==gcd(a,b)一定存在解。这个定理又叫裴蜀定理，或贝祖定理。

（1）.扩展欧几里得算法应用

1.不定方程ax+by=cax+by=cax+by=c无解判定：如果cd==0cd== 0cd==0有解，否则无解
2.求解不定方程ax+by=c：ax+by=c：ax+by=c：先用扩欧求出ax’+by’=d=gcd(a,b)ax’+by’= d =gcd(a,b)ax’+by’=d=gcd(a,b)的一组解x′x'x′和y′，y'，y′，则方程原来的一组解为 x=x′c/d，y=y′c/dx=x'c/d，y=y'c/dx=x′c/d，y=y′c/d，通解为x=x′c/d+kb/dx=x'c/d+kb/dx=x′c/d+kb/d，y=y′c/d−ka/dy=y'c/d-ka/dy=y′c/d−ka/d（kkk为任意整数）
3.解模线性方程：a≡b(modn)a ≡ b (mod n)a≡b(modn)的含义是a和b关于模n同余，即amodn==bmodna mod n == b mod namodn==bmodn，则ax−b=ny,ax-b=ny,ax−b=ny,移项得ax−ny=b,ax-ny=b,ax−ny=b,这恰好是一个二元一次不定方程，用2解决。
4.乘法逆元：ax≡1(modn)ax ≡ 1 (mod n)ax≡1(modn)的解x称为aaa关于模n的乘法逆元。若gcd(a,n)=1gcd(a,n)=1gcd(a,n)=1有唯一解，反之无解。注意：通过扩欧算出的不定方程有很多解，最终的逆元应该是（x%n+n）%n,（x\%n+n）\%n,（x%n+n）%n,也就是逆元的范围是[0,n−1][0,n-1][0,n−1]
5.改写算式：(a/b)modp==(a(b的逆元))(a/b) mod p == (a(b的逆元))(a/b)modp==(a(b的逆元))

详解+代码

（2）例题1.求整数xxx和yyy使得ax+by=1ax+by=1ax+by=1

问题描述：求整数x和y使得ax+by=1ax+by=1ax+by=1
限制条件：1≤a,b≤1091≤a,b≤10^91≤a,b≤109
分析：如果gcd(a,b)≠1gcd(a,b)≠1gcd(a,b)=1，显然无解（有公约数一除就不是整数了），反之，如果gcd(a,b)=1,gcd(a,b)=1,gcd(a,b)=1,就可以通过扩展辗转相除法来求解。事实上一定存在整数对(x,y)(x,y)(x,y)使得ax+by=gcd(a,b)，ax+by=gcd(a,b)，ax+by=gcd(a,b)，并可以用同样的算法求得。

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{int d=a;if (b != 0){d=exgcd(b, a%b, y, x);y-=(a/b)*x;}else{x=1; y=0;}return d;
}

详细代码见下文

（3）例题2.扩展欧几里得模板

题意翻译
一条直线：Ax+By+C=0（AB不同时为0），找到任意一个点（在-5e18~5e18之间）让它的横纵坐标均为整数，或者确定没有这样的点。
输入：A，B，C
输出：该点坐标，没有就输出-1
输入输出样例
输入 #1

2 5 3

输出 #1

6 -3

#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn=1e5;
ll ex_gcb(ll a,ll b,ll &x1,ll &y1)
{ll x2,y2;if(!b){x1=1;y1=0;return a;}ll d=ex_gcb(b,a%b,x2,y2);x1=y2;y1=x2-a/b*y2;return d;
}
int main()
{ll a,b,c,x,y;scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);c=-c;ll d=ex_gcb(a,b,x,y);if(c%d){puts("-1");exit(0);}x=x*c/d;y=y*c/d;printf("%lld %lld\n",x,y);return 0;
}

二.费马小定理

定义：费马小定理（Fermat Theory）是数论中的一个重要定理，其内容为：假如p是质数，且Gcd(a,p)=1，那么 a(p-1) ≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
题目：给定一个方程式f(x)=5x13+13x5+kax，给定一个非负整数k，求能不能找到一个尽量小的非负整数a，使得上述方程式中的x任意取值，结果都能被65整除，如果有，输出a的值，否则输出no。
理解：65=13×5。要使f(x)是65的倍数，只需要f(x)是5和13的倍数即可。
1.若f(x)是13的倍数，则(5x13+13x5+kax )% 13 == 0，其中13x5显然是13的倍数，所以只需(5x13+kax )是13的倍数，即(5x12+ka )x是13的倍数。
如果x是13的倍数，则不用考虑。
如果x不是13的倍数，则x一定与13互素，由费马小定理得，x12%13= =1，则5x12%13= =5。因为要让任意x满足条件，则括号内必为13的倍数，有(ka+5)%13= =0，则ka%13= =8。
2.同理可得ka%5= =2。
据此，若k为5或13的倍数，a一定无解，否则，一定有解。

#include<stdio.h>
int main()
{int k;while(scanf("%d",&k)!=EOF){int i=1;if(k%5==0||k%13==0)printf("no\n");elsewhile(i){if(k*i%5==2&&k*i%13==8){printf("%d\n",i);break;}i++;}}return 0;
}

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