一、算法的基本概念

1.1 算法的定义

1.2 算法的“好坏”如何衡量？

1.3 描述算法的时间复杂度 ⭐

1.4 如何评价算法

二、分治法

2.1 分治法的求解步骤

2.2 平衡的概念

2.3 递归式解法

2.3.1 主定理法 ⭐

2.4 分治法的使用条件

2.5 分治法实例

2.5.1 快速排序

2.5.2 最大元最小元问题

2.5.3 最近点对

2.5.4 寻找顺序统计量（求第i小、最大元、最小元、中位数）

三、动态规划

3.1 动态规划的适用范围

3.2 动态规划的求解步骤

3.3 动态规划方法求解实例

3.3.1 矩阵连乘（区间DP问题）

3.3.2 LCS（最长公共子序列）

3.3.3 最大子段和

四、贪心

4.1 贪心算法的基本思想

4.2 贪心算法的适用情况

4.3 贪心算法实例

4.3.1 活动安排问题

4.3.2 单元最短路径 Dijkstra算法

4.3.3 最小生成树Prim 及 kruskal算法

五、随机算法

5.1 随机算法的分类⭐

5.2 Sherwood算法

5.3 随机算法求解实例⭐

5.3.1 快排（随机化版本）

5.3.2 求第i小元素（随机化版本）

5.3.3 Test String Equality (比较两个串是否相等)

5.3.4 Pattern Matching（一个串是不是另一个串的子串）

5.3.5 主元素问题

六、回溯法与分支限界法

6.1 生成问题状态

6.2 回溯法

6.3 分支限界法

6.3 回溯法常见的解空间树

6.3.1 子集树

6.3.2 排列树

6.4 求解实例

6.4.1 01背包问题（子集树）

6.4.2 TSP（排列树）

七、NP完全性理论⭐

7.1 最优化问题和判定问题

7.2 P, NP, NPC, NP-hard问题

7.2.1 什么是P, NP, NPC, NP-hard问题

7.2.2 P, NP, NPC, NP-hard问题之间的关系

7.3 规约（问题的多项式变换）

7.3.1 什么是规约

7.3.2 规约的作用

7.4 NPC问题实例

八、近似算法

8.1 近似算法的性能

8.2 实例——装箱问题（Bin Packing）

一、算法的基本概念

1.1 算法的定义

算法是由若干条指令组成的有穷序列，具有5个特性：确定性、能行性、输入、输出、有穷性

1.2 算法的“好坏”如何衡量？

用计算时间来衡量一个算法的好坏在不同的机器之间无法比较，需要用独立于具体计算机的客观衡量标准：

问题的规模：一个或多个整数，作为输入数据量的测度

基本计算：解决给定问题时占支配地位的运算

算法的计算量函数：用问题规模的某个函数来表示算法的基本运算量，这个表示基本运算量的函数称为算法的时间复杂度，用 T(n) 来表示

1.3 描述算法的时间复杂度 ⭐

Ο，表示渐进上界(tightness unknown)，小于等于的意思，近似复杂度。

Ω，表示渐进下界(tightness unknown)，大于等于的意思，近似复杂度。

Θ，表示确界，既是上界也是下界(tight)，就是相等，准确的复杂度。

n! 与2^n 相比，当n>3的时候，n! 会更大一点

1.4 如何评价算法

正确性（首要因素）、高效性、健壮性、简单性、最优性

二、分治法

2.1 分治法的求解步骤

求解步骤：分解、求解、合并；(先分后治)

他的求解过程就用递归的方式来求解

2.2 平衡的概念

把一个问题分成两个规模相近的子问题，例如快速排序，分成的两个子问题只要不是特别极端的情况，也算平衡。

2.3 递归式解法

代换法、递归树方法、主定理。（这里只详细介绍主方法，其他方法可以参考慕课上一个北航的老师的讲解，哔哩哔哩上也有视频，这个老师的主定理法讲的也非常好，理解起来很快 [2.2.1]--2.2递归式求解上_哔哩哔哩_bilibili）

先认识一下递归方程：T(n) = aT(n/b) + f(n)

其中，a：归约后子问题的个数，
n/b ：归约后子问题的规模（aT(n/b) 为叶子成本）
f(n)：组合子问题时产生的工作量（f(n) 为合并成本）

2.3.1 主定理法 ⭐

1、主定理法内容

对于递归式T(n) = aT(n/b) + f(n)，比较根节点代价之和f(n)和叶子节点代价之和的大小

也就是在比较合并成本和叶子成本，究竟谁更大。粗略的理解如下：
① f(n)多项式意义大于，不止渐进大于且相差n^ε，所以总体代价以f(n)为主；（这里忽略了对正则条件的理解，感觉不影响使用，想了解深层原理可以看一下课本）
② f(n)与等阶，最后的结果要再乘以logn
③ f(n)多项式意义小于，不止渐进小于且相差n^ε，所以总体代价为

这三种情况画在线段上如下图所示，所以中间哪些无法覆盖的部分就是这个定理无法涵盖的情况。具体的讲解还是可以看看那个北航老师的视频。

2. 主定理法的应用

例1：求解递推方程T(n) = 9T(n/3)+n

解：上述递推方程中，a=9, b=3, f(n) = n
= = n²，，ε取1
所以，T(n) = Θ(n²)

分析：在这个题中，a=9, b=3, f(n) = n，先求 = = n²
（再与 f(n)进行对比，发现的次数高一些，所以最后的T(n)就是 n²,）
相当于也是就上述的情况③，ε取1，T(n) = Θ(n²)

例2：求解递推方程T(n) = T(2n/3)+1

解：上述递推方程中，a=1, b=3/2, f(n) = 1
= = n^0=1，
所以，T(n) = Θ(log n)

分析：在这个题中，a=1, b=3/2, f(n) = 1，先求 = 1
（再与 f(n)进行对比，发现与的次数一样，
也是就上述的情况②，所以最后的T(n)就是 *log n,
即 T(n) = Θ(log n)

例3：求解递推方程T(n) = 3T(n/4)+nlogn

解：上述递推方程中，a=3, b=4, f(n) = nlogn

取ε = 0.2，则T(n) = nlogn

分析：在这个题中，a=3, b=4, f(n) = ，先求 = 次数是比 n小的，
再与 f(n)进行对比，发现 f(n)中 n 的部分是1次方，比的大，所以f(n)占主导
也是就上述的情况1，所以最后的T(n)就是f(n),
即 T(n) = Θ(n log n)

不能使用主定理的：

例4：T(n)=2T(n/2)+nlogn

分析：在这个题中，a=2, b=2, f(n) = nlogn，先求 = n
（再与 f(n)进行对比，发现f(n) 的 n 部分与的次数一样，但是多了logn

这种情况，等于落入了①和②之间的红点，就是不满足使用主定理的，可以考虑使用拓展定理

总体来看，从只考虑做题的角度理解例3和例4，就是：比较与f(n) 中n 的次数，先不管f(n)中的 logn ，如果f(n)的次数高，就取f(n)，如果的次数高，就取，
但是如果f(n)中的n的次数与相等，然后f(n)还有logn 的部分，就属于是主定理一般情况无法解决的了，可以用递归树，也可以用主定理的扩展形式。

3. 主定理的扩展形式

扩展形式中，对于情况②，增加了，也就是说，如果遇到f(n)的n的次方与相等，哪怕f(n)有log n 的部分，总体的T(n) 还是f(n) 再乘一个 log n，画在线段中，也就是多了以下的一些点的情况。

还看例4：T(n)=2T(n/2)+nlogn

解： a=2, b=2, f(n) = nlogn，先求 = n
f(n) = Θ()， k=1
T(n) = Θ() = Θ( )

参考链接：
北航老师的讲解视频：[2.2.2]--2.2递归式求解下_哔哩哔哩_bilibili

一个写的很清楚的博客：

【算法设计与分析】12 主定理及其应用_杨柳_的博客-CSDN博客_t(n)=3t(n/4)+nlogn

有例题的文档：2.8.主定理的应用 - 豆丁网

关于一个疑问的解答：

T(n)=3T(n/4)+nlgn与T(n)=2T(n/2)+nlgn在主定理的应用上有什么区别？ - 知乎

2.4 分治法的使用条件

（1）问题缩小到一定的规模（子问题）时易解决

（2）原问题与分解后的子问题同类（即该问题具有最优子结构性质）

（3）原问题的解可以由子问题的解合并得到

（4）子问题相互独立，不包含公共问题。

2.5 分治法实例

2.5.1 快速排序

1、过程：
分解：根据选取的主元大小，将数组分成两部分，[p …… q-1] 和 [q+1 …… r]，是的前部分都小于这个主元A[q]，后半部分都大于A[q]

解决：递归调用快速排序算法，分别对分成的两段进行排序

合并：由于子数组是原地排序，所以合并的时候不需要操作

2、分治法的思想体现在：

挑主元，用主元作为基准元素，依次遍历数组，完成划分过程，这个划分的过程就是分治中标准的分解的过程

3、复杂度分析

快排：平均O(nlogn)，最坏情况O(n^2)

插入排序：将未排序的元素一个一个地插入到有序的集合中，插入时把所有有序集合从后向前扫一遍，找到合适的位置插入。最坏时间复杂度O(n^2)

归并排序：需要额外空间：O(n) 时间复杂度：O(nlogn)

快排的最坏时间复杂度产生的原因：

例如说主元每次都是最右边的元素，而这个数组本身又是递增的，那每次分解，都只能分解成长度为 n-1 和 1 的两个数组，相当于，每次遍历只能排好一个数组，每次都需要对n个元素进行遍历，并且要划分n次才能分好，复杂度就是O(n^2)

4、快排的随机版本

随机的选取主元，使得在概率上避免最坏情况

代码思路参考：

Acwing算法基础学习笔记（一）快排和归并_爱学习的小船的博客-CSDN博客

2.5.2 最大元最小元问题

1、问题描述

高级表述：给定n个数据元素，找出其中的最大元和最小元
翻译：就是求一个数组中的最大的数和最小的数

2、解题思路

如果直接求解，就是遍历整个数组，记一下最大或者最小的数，这样找到最大元需要n-1 次，再找最小元需要 n-2 次，总共需要 2n-3 次

先分析是否满足分治法的使用条件：

其实仔细想，可以发现，求一个数组的最大最小元，可以分成求子数组的最大最小值，然后再合并起来，他是拥有最优子结构并且子问题相互独立的，满足分治法的使用条件

所以就可以尝试一下分治法啦，先考虑特殊情况：
if n=1 ，就可以直接判断出，最大元和最小元

如果n>1，步骤还是考虑分治法的三部曲：

分解：将一个数组平均分成两份
求解：对左右两份数组都分别递归调用这个算法，求取每份的最大或者最小，直到数组只剩俩数或者一个数，底层就只需要一次
合并：合并的时候，比较左右两边的最大元和最小元
- 找最大元的过程如图所示：

3、分治法求数组最大元、最小元的算法下界

算法的复杂度是线性的，算法下界为3n/2-2。分析过程如图：

4、算法实现

#include <iostream>
using namespace std;void findMaxMin(int str[], int l, int r,int &max, int &min)
{// 递归出口if(l==r){max = str[l];min = str[l];}else{int mid = (l + r) >> 1;int lmax,lmin,rmax,rmin; //分别记录两边的最大最小值//递归执行左右两段findMaxMin(str, l, mid, lmax,lmin);findMaxMin(str, mid+1, r, rmax, rmin);//合并比较左右的最大值最小值if(lmax >= rmax){max = lmax;}else{max = rmax;}if(lmin <= rmin){min = lmin;}else{min = rmin;}}
}int main()
{int str[] = {2,9,6,3,1,5,7,4};int l = 0, r=7;int maxmin[] = {0,0};int max,min;findMaxMin(str, l, r, max, min);cout << "max:" <<max <<";min:"<< min;return 0;
}

2.5.3 最近点对

1、问题描述

就是求空间内，最近的两个点（最简单的就是一维问题，然后可以上升为二维的）

2、一维的最近点对的解题思路

同理，先分析是否满足分治法的适用条件：可以把空间分成两部分，求每个小空间的最近距离，但是在合并的时候，交界处比较难处理，但是也算是满足条件

分治法求解：
分解：用各个点坐标的中位数m 作为分割点，分成两个点集
解决：递归调用该算法，分别寻找两个点集上最接近的点对{p1, p2}、{q1, q2}及距离d1,d2
合并：整个点集的最近点对或者是{p1, p2}，或者是 {q1,q2}，或者是某个{p3,q3}，其中p3和q3分属两个点集（整个情况在合并的时候要仔细分析）

合并策略：
如果说两个点集的交界处有更近的点，那找到这俩个点，需要扫描的范围其实不会超过，两边的最近距离d的二倍，画个图如下所示，这2d的范围中，最多只可能会有4个点，如果说p1和p2之间还有其他的的点，那就会构成比d更近的距离了

所以，合并的时候，我们需要在从分割点出发分别往左右扫描扫描到d的距离，看看是否会出现更近的情况就可以啦

3、二维最近点对问题的解题思路

有了一维的基础，再考虑二维的问题就好理解多了，直接来分治法求解过程：

（1）预处理：将点集P中的点，按照X Y坐标从小到大顺序排列

（2）分解：计算x坐标中位数m，选择一条垂线L:x=m，将点集P分成左右两部分PL和PR，分解到最后的递归出口，剩1~3个点时，就可以直接计算了

（3）解决：递归调用该算法，分别找PL和PR中的最近点对及距离，距离分别记为δL, δR，置δ = min(δL, δR)

（4）合并：考察带状区域中的点
① 找出以L为中心线，宽度为2

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1.1 算法的定义

1.2 算法的“好坏”如何衡量？

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1.4 如何评价算法

二、分治法

2.1 分治法的求解步骤

2.2 平衡的概念