The Expressive Power of Neural Networks: A View from the Width

文章目录

概
主要内容
- 定理1
- 定理2
- 定理3
- 定理4
- 定理1的证明

Lu Z, Pu H, Wang F, et al. The expressive power of neural networks: a view from the width[C]. neural information processing systems, 2017: 6232-6240.

@article{lu2017the,
title={The expressive power of neural networks: a view from the width},
author={Lu, Zhou and Pu, Hongming and Wang, Feicheng and Hu, Zhiqiang and Wang, Liwei},
pages={6232–6240},
year={2017}}

概

Universal approximation theorem-wiki, 这个定理分成俩个部分, 第一个部分是Unbounded Width Case, 这篇文章是Bounded Width Case (ReLu网络).

主要内容

定理1

另外, 定理1中的网络由若干个(视ϵ\epsilonϵ而定) blocks排列而成, 每个block具有以下性质:

depth: 4n+1, width: n+4 的神经网络
在一个范围外其“函数值”为0
它能够存储样本信息
它会加总自身的信息和前面的逼近信息

定理2

定理3

定理4

定理1的证明

因为主要关注定理1, 所以讲下这个部分的证明(实际上是因为其它懒得看了).

假设x=(x1,x2,…,xn)x = (x_1, x_2,\ldots, x_n)x=(x1,x2,…,xn)为输入, fff是L1L^1L1可积的, 对于任意的ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0, 存在N>0N > 0N>0满足
∫∪i=1n∣xi∣≥N∣f∣dx<ϵ2.\int_{\cup_{i=1}^n|x_i| \ge N} |f| \mathrm{d}x < \frac{\epsilon}{2}. ∫∪i=1n∣xi∣≥N∣f∣dx<2ϵ.

定义下列符号:

则我们有:
∫Rn∣f−(f1−f2)∣dx<ϵ2,\int_{R^n} |f-(f_1 - f_2)| \mathrm{d}x < \frac{\epsilon}{2}, ∫Rn∣f−(f1−f2)∣dx<2ϵ,

对于i=1,2i=1, 2i=1,2, 既然VEiV_E^iVEi是可测的(且测度小于+∞+\infty+∞), 则我们能找到有限个n+1n+1n+1维的矩体去逼近(原文用了cover, 但是我感觉这里用互不相交的矩体才合理), 并有
m(VEiΔ∪jJj,i)<ϵ8,m(V_E^i \Delta \cup_j J_{j,i}) < \frac{\epsilon}{8}, m(VEiΔ∪jJj,i)<8ϵ,
不出意外Δ\DeltaΔ应该就是\.

假设Jj,iJ_{j,i}Jj,i有nin_ini个, 且

每一个Jj,iJ_{j, i}Jj,i对应一个指示函数:
ϕj,i(x)={1x∈Xj,i0x∉Xj,i.\phi_{j,i}(x) = \left \{ \begin{array}{ll} 1 & x \in X_{j,i} \\ 0 & x \not \in X_{j,i}. \end{array} \right. ϕj,i(x)={10x∈Xj,ix∈Xj,i.
则

这个在实变函数将多重积分, 提到的下方图形集有讲到.
于是我们有(−f1−f2+f1+f2−f+f-f_1-f_2+f_1+f_2-f+f−f1−f2+f1+f2−f+f然后拆开来就可以得到不等式)

现在我们要做的就是通过神经网络拟合φj,i\varphi_{j,i}φj,i去逼近ϕj,i\phi_{j,i}ϕj,i, 使得

现在来讲, 如果构造这个神经网络:

一个block有4n+1层, 每层的width是n+4, 注意到所有层的前n个Node都是一样的用来保存样本信息. 我们用Ri,j,Bk,i=1,2,3,4,j=1,…,n+4,k=1,…,n,R_{i, j, \mathscr{B_k}}, i=1, 2, 3, 4, j=1,\ldots,n+4, k=1,\ldots, n,Ri,j,Bk,i=1,2,3,4,j=1,…,n+4,k=1,…,n, 表示第kkk个Unit(每个Unit有4层)的第iii层的第jjj个Node.

注意: R2,n+3,B1R_{2, n+3, \mathscr{B_1}}R2,n+3,B1应该是(x1−a1)+/δ(x_1-a_1)^+/\delta(x1−a1)+/δ, 最开始的结构图中的对的. 我们来看一下, 什么样的x=(x1,…,xn)x=(x_1, \ldots, x_n)x=(x1,…,xn), 会使得L1L_1L1不为0.

如果x1=a1+δ(b1−a1)+ϵx_1=a_1+\delta(b_1-a_1)+\epsilonx1=a1+δ(b1−a1)+ϵ, 这里ϵ>0\epsilon>0ϵ>0是一个任意小量, 和上文中的ϵ\epsilonϵ没有关系. 此时(当δ<1/2\delta<1/2δ<1/2)
(x1−b1+δ(b1−a1))+δ=0,\frac{(x_1-b_1+\delta(b_1-a_1))^+}{\delta}= 0, δ(x1−b1+δ(b1−a1))+=0,
当δ\deltaδ足够小的时候
(x1−a1)+δ=0，\frac{(x_1-a_1)^+}{\delta}= 0， δ(x1−a1)+=0，
此时L1=1L_1=1L1=1, 类似地, 可以证明, 当δ→0\delta \rightarrow 0δ→0的时候, x1∈(a1+δ(b1−a1),b1−δ(b1−a1))x_1 \in (a_1+\delta(b_1-a_1),b_1-\delta(b_1-a_1))x1∈(a1+δ(b1−a1),b1−δ(b1−a1))时, L1=1L_1=1L1=1, 否则为0.

Ri,j,BkR_{i, j, \mathscr{B_k}}Ri,j,Bk的定义是类似的, 只是
Lk=((Lk−1−(xk−bk+δ(ak−bk))+/δ)+−(1−(xk−ak)+/δ)+)+,L_k = ((L_{k-1}-(x_k-b_k+\delta(a_k-b_k))^+/\delta)^+- (1-(x_k-a_k)^+/\delta)^+)^+, Lk=((Lk−1−(xk−bk+δ(ak−bk))+/δ)+−(1−(xk−ak)+/δ)+)+,
可以证明, 当δ→0\delta\rightarrow 0δ→0, 且xt∈(at+δ(bt−at),bt−δ(bt−at)),t=1,2,…,kx_t \in (a_t + \delta(b_t-a_t),b_t-\delta(b_t-a_t)), t=1,2,\ldots, kxt∈(at+δ(bt−at),bt−δ(bt−at)),t=1,2,…,k的时候, Lk=1.L_k=1.Lk=1., 这样我们就构造了一个指示函数, 如果这个这函数对应的iii为1则将LnL_nLn存入n+1 Node, 否则 n+2 Node (实际上, 我感觉应该存的是bn+1,j,iLnb_{n+1,j,i}L_nbn+1,j,iLn), 则

这里μ\muμ相当于LnL_nLn. 所以多个blocks串联起来后, 我们就得到了一个函数, 且这个函数是我们想要的.

这个直接通过超距体体积计算得来的, 我们只需要取:

最后
令g:=∑i=12∑j=1ni(−1)i+1bn+1,j,iμj,ig:=\sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^{n_i}(-1)^{i+1}b_{n+1,j,i}\mu_{j,i}g:=∑i=12∑j=1ni(−1)i+1bn+1,j,iμj,i，便有

此即定理1的证明.