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2.3.2 MIMO系统信道容量推导

1、 MIMO系统的瞬时信道容量的推导

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这部分我们将给出MIMO信道容量的一般性表达。根据上面的信道模型,我们可以得到收发信号关系为:

y?H x ? n (2.10)

首先假设信道的加性噪声n是服从协方差为Rnn = E{nnH}的零均值循环对称复高斯分布(ZMCSCG),即:n~CN(0N,N0IN)并且n与x之间是不相关的。发送信号x是服从零均值、协方差为RXX ={xxH }、概率密度函数为fs(x)的分布,总的发送功率限制为Tr{Rxx}=P,其中Ex为在一个符号周期内总的发送能量。

在下面的推导过程中我们假设信道矩阵H在接收端已经完全已知,但是它是随机的,因此我们可以得到瞬时信道容量为:

C(H)?maxI(x;y) (2.11)

fs(x)其中I(x;y)为在已知信道H的情况下输入x与输出y之间的互信息量,有:

I(x;y)?H(y)?H(y|x) (2.12)

H(y)是y的差分熵,H(y|x)是给定x条件下y的差分熵,由于发送信号与噪声之间是独立的,因此有H(y|x)=H(n),所以式(2.12)可以重新写为:

I(x;y)?H(y)?H(n) (2.13)

因为接收信号的协方差矩阵为:

Ryy?E{yyH}?HRxxHH?N0IN

(2.14)

对于输出信号y的差分熵,根据Neeser的分析,在给定协方差矩阵Ryy的条件下,H(y)只有在y是也服从ZMCSCG分布情况下才可以达到最大值,所以发送信号x也应该服从ZMCSCG分布,此时的y与n的差分熵分别为：

(2.15) H(y)?log2{det(?eRyy)} bits/s/ H (2.16) H(n)?log2{det(?eN0IN)} bits/s/ H 本科毕业论文(设计)

所以我们可以得到信道瞬时交互信息I(x;y)为：

I(x;y)?log2{det[IN?

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1 (2.17) HRxxHH]} bits/s/ HN0我们知道信道容量是最大的输入输出交互信息,所以(2.11)可以重新写为:

C(H)?maxlog2{det[IN?

Tr{Rxx}?p1HRxxHH]} bits/s/Hz (2.18) N0上面得到的瞬时容量值是随不同的信道条件而不断变化的,由于信道矩阵H的随机性,所以我们可以知道瞬时信道容量也是随机的,是一个随机变量。

2、利用矩阵理论推导MIMO系统容量

对于MIMO无线信道，信道是极其复杂的。因此原始的信道矩阵也就显得复杂，不便于分析，而且一般矩阵不经过处理计算行列式很困难。这就自然想到在信源端对发射信号做某种预处理，使得经过预处理的信号经过的信道变得简单易分析，而且具体实现也变得简单。对于信道矩阵来说，对角矩阵是最简单的，所以自然就想到把信道矩阵分解，利用矩阵理论中的奇异值分解可以达到这种目的。下面就矩阵的奇异值分解来计算MIMO的信道容量。首先，假设信道矩阵在发射端为未知，在接收端为已知。

由奇异值分解(SVD)理论，任何一个nR×nT矩阵H可以写成

H?UDVH (2.19)

式中，D是nR×nT非负对角矩阵；U和V分别是 nR×nR和 nT×nT 的酉矩阵。则有UUH=InR和VVH=InT，其中InR和InT分别是nR×nR和nT×nT单位阵。D的对角元素是矩阵HHH的特征值的非负平方根。HHH的特征值(用λ表示)定义为

HHHy??y,y?0

(2.20)

式中，y是与λ相对应的nR×1维矢量，称为特征矢量。

特征值的非负平方根也称为H的奇异值，而且U的列矢量是HHH的特征矢量，V的列矢量是HHH的特征矢量。把把(2.19)代入(2.10)，可以得到接收矢量r

r?UDVHx?n

(2.21)

引入下列变换：

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r??UHr

x??VHx (2.2

2)

n??UHn

U和V是可逆的。显然，式(2.22)中定义的矩阵r 、x和n与相应矩阵的乘积仅有一个缩放比例的效果。矢量n′是一个零均值高斯随机变量，其实部和虚部独立同分布。这样，前面讨论的信道与下式所描述的信道是等价的。

r??Dx??n (2.23)

矩阵HHH的非零特征值的数量等于矩阵H的秩，用r表示。对nR×nT矩阵H,秩的最大值为m=min(nR,nT)，也就是说，至多有m个奇异值是非零的。用?i表示H的奇异值。将?i代入式(2.23)，得到接收信号元素为

???ri??ixi?ni?i?1,2,?,r?

??ri?ni?i?r?1,r?2,?,nR? (2.24)

?式(2.24)显示，接收元素ri(i?r?1,r?2,?,nR)并不依赖于发射信号，即信道增

?益是零。另一方面，接收元素ri(i?1,2?,r)仅仅取决于发射元素Xi’。因此，可以认为，通过(2.23)得到的等效MIMO信道是由r个去耦平行子信道组成的。为每个子信道分配的矩阵H的奇异值，相当于信道幅度增益。因此，信道功率增益等于矩阵HHH的特征值。例如，如果nT > nR，由于H的秩不可能比nR高，那么式(2.24)显示了在等效的MIMO信道中，最多有nR个非零增益子信道。

另一方面，如果nR > nT，在等效的MIMO信道中，最多有nT个非零增益子信道。特征值谱是对MIMO信道的一种描述方式，适用于对最佳发射路径进行估计。

由式(2.22)，可以导出信号r′、x′和n′的协方差矩阵和它们的迹

Rr?r??UHRrrU

Rx?x??VHRxxV

(2.25)

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Rn?n??UHRnnU

r?)?tr(rrR) tr(r?R?x?)?tr(xxR) (2.26) tr(xR?n?)?tr(nnR) tr(nR以上关系显示，r'、x' 和n' 的协方差矩阵有相等的对角元素和，从而有相等的功率；而对于原始信号和r、x和n,它们是各不相等的。

考虑到(2.22)所描述的等价MIMO信道模型中，子信道是去耦的，因此其容量可以直接相加。假设在等效MIMO信道中，每根天线的发射功率为P/nT，运用香农公式，可以估算出总的信道容量(用C表示)为:

?P? C?W?log2?1?ri? (2.27)2???i?1

r式中，W是每个子信道的带宽；Pri是在第i个子信道中接收的信号功率，由下式给出：

Pri?

?iP (2.28) nT式中，?i是信道矩阵H的奇异值。因此信道容量可以写成:

r???iP??iP??? (2.29) C?W?log2?1??Wlog1?2??2?2?nT??i?li?1??nT??

r下面说明信道容量是如何与信道矩阵H相关的。假定m=min(nR，nT),(2.20)定义了特征值-特征矢量的关系，可重新写为:

??Im?Q?y?0

y?0 (2.30)

式中，Q是威沙特(Wishart)矩阵，定义为:

n?nT?HHHQ??H R (2.31)

n?nRT?HH

即当且仅当?Im?Q是奇异矩阵时，λ是Q的一个特征值。因此?Im?Q的行列式必定为零，即