有趣的微分方程之齐次方程

首先为什么会有齐次方程呢？那是因为古人云，其曰此为齐次方程。哈哈

首先来看一下齐次方程的形式：

形如这样的方程就叫做齐次方程！
然后令：

则有：

由此一来，带入原式：

哈哈，它就变成了可分离变量的微分方程。
有意思，解微分方程的过程就是把未知解法的微分方程通过某种转变，变成我们已知解法的微分方程。

可化为齐次的微分方程

既然齐次微分方程可以化为可分离变量的微分方程，那么只要一个微分方程可以化为齐次方程，那它就一定可解。
首先来看第一种可化为齐次方程的微分方程，如下：

此时，令x=X+h,y=Y+k.则有，dx=dX,dy=dY.带入上述方程得：

提取出：

若上述方程的的系数行列式不等于0。即ab1-ba1!=0，则可以唯一确定一个解，即唯一确定一个h,b满足上式，那么第一个方程就可以化为齐次方程。
倘若ab1-ba1=0，那么可令a1/a=b1/b=f,再引入新的变量v=ax+by,那么第一个方程就可以直接化为可分离变量的微分方程。nice！
待续。。

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