matlab画微分方程的矢量场图_一维波动方程数值解 Matlab 教程（从入门到出图）——3数值计算的Matlab实现...

2024-05-09 15:50:37

最近在计算波动方程数值解时，发现网上很难找到比较详细实用的Matlab教程，所以我打算自己写一个，以一维弦的波动为例，从理论推导到代码实现，跟大家分享一下。

杜帅：一维波动方程数值解 Matlab 教程（从入门到出图）——1波动方程基本概念zhuanlan.zhihu.com

杜帅：一维波动方程数值解 Matlab 教程（从入门到出图）——2差分方程基本概念zhuanlan.zhihu.com

杜帅：一维波动方程数值解 Matlab 教程（从入门到出图）——3数值计算的Matlab实现zhuanlan.zhihu.com

前两篇已经讲了一维波动方程以及差分方法数值计算的基本知识，最后我们来看看如何用Matlab实现二阶偏微分方程的数值计算^[1]：

一、一维波动方程的差分形式

微分方程

我们将自变量 x 和 t 离散化，分别均分为

和

份，步长分别为

和

，其中第 i 个 x 和第 j 个 t 对应的位移为

根据二阶差商的写法，改写为差分形式

整理得

这样等号右边都是关于时间

和

的位移，只有左边是关于

的。

而对于位置

、

和

，初始条件里已经全部给出，所以只需要带入上式就可以循环计算出所有结果。

边界条件的差分形式

位移边界条件

即

应力边界条件

差分形式

即

二、Matlab程序实现

1、参数离散化

2、初始条件

我们设置初始位移和初始速度均为零。

u = zeros(Nx, Nt);

3、循环计算

只需要从 j=2 开始循环时间，带入初始条件，计算下一时刻所有位置的位移。

其中二次差分可以利用Matlab的向量运算，避免再套循环。由于二次差分后少了两个元素，我们在两端补零即可，因为后边边界条件还会对两端进行修正，所以没有影响。

for

4、边界条件

上边代码中采用一端固定一端自由的边界条件。

若两端自由，可改为

若右端守恒力，可改为

5、图像显示

画出不同时刻的位移图，并存为动画

视频：

知乎视频www.zhihu.com

教材推荐

高等应用数学问题的Matlab求解，豆瓣9.2分。

高等应用数学问题的MATLAB求解（豆瓣评分9.2）book.douban.com

参考

^一维波动方程的数值解 http://wuli.wiki/online/W1dNum.html

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