友情链接：【paper】2019_Consensus Control of Multiple AUVs Recovery System Under Switching Topologies and Time D

2.4.2 水下潜航器反馈线性化模型

针对第 iii 个潜航器个体，可以有
z˙1i=z2iz˙2i=ui(2-54)\begin{aligned} \dot{z}_1^i =& z_2^i \\ \dot{z}_2^i =& u_i \\ \end{aligned} \tag{2-54}z˙1i​=z˙2i​=​z2i​ui​​(2-54)

其中 z1i∈R5,z2i∈R5,ui∈R5z_1^i \in \R^5, z_2^i \in \R^5, u_i \in \R^5z1i​∈R5,z2i​∈R5,ui​∈R5。

第4章 基于双层 Markov 变换拓扑的潜航器编队协调控制

4.1 引言

4.2 问题描述与预备知识

4.2.1 问题描述

4.2.2 预备知识

4.2.2.1 马尔科夫随机变换拓扑

4.3 不稳定通信条件下无领航者队形的潜航器编队协调控制

无领航者潜航器编队的反馈线性化模型定义如式（2-54），设第 iii 个潜航器的控制输入 ui(t)u_i(t)ui​(t) 如下所示
ui(t)=−Kp∑j∈Nixaij(t)(xi(t)−xj(t))−Kv∑j∈Nivbij(t)(vi(t)−vj(t))(4-16)u_i(t) = -K_p \sum_{j \in N_i^x} a_{ij}(t) (x_i(t) - x_j(t)) - K_v \sum_{j \in N_i^v} b_{ij}(t) (v_i(t) - v_j(t)) \tag{4-16}ui​(t)=−Kp​j∈Nix​∑​aij​(t)(xi​(t)−xj​(t))−Kv​j∈Niv​∑​bij​(t)(vi​(t)−vj​(t))(4-16)

其中 Kp,KvK_p, K_vKp​,Kv​ 分别表示位置和速度通信拓扑下的控制增益，aij(t),bij(t)a_{ij}(t), b_{ij}(t)aij​(t),bij​(t) 分别表示在 ttt 时刻位置和速度通信拓扑的邻接矩阵 Ap,AvA_p, A_vAp​,Av​ 的 (i,j)(i,j)(i,j) 单元。

---

4.3.1 相同时变时间延迟条件下潜航器编队协调控制

根据式（4-16）可得时延条件下的协调控制输入为
ui(t)=−Kp∑j∈Nixaij(t)(xi(t−τ)−xj(t−τ))−Kv∑j∈Nivbij(t)(vi(t−τ)−vj(t−τ))(4-24)u_i(t) = -K_p \sum_{j \in N_i^x} a_{ij}(t) (x_i(t\red{-\tau}) - x_j(t\red{-\tau})) - K_v \sum_{j \in N_i^v} b_{ij}(t) (v_i(t-\red{\tau}) - v_j(t\red{-\tau})) \tag{4-24}ui​(t)=−Kp​j∈Nix​∑​aij​(t)(xi​(t−τ)−xj​(t−τ))−Kv​j∈Niv​∑​bij​(t)(vi​(t−τ)−vj​(t−τ))(4-24)

其中 τ\tauτ 表示时变时间延迟 τ(t)\tau(t)τ(t)。

---

4.3.2 不同时变时间延迟条件下潜航器编队协调控制

根据式（4-16），取具有不同时间延迟的控制输入为
ui(t)=−Kp∑j∈Nixaij(t)(xi(t−τ1)−xj(t−τ1))−Kv∑j∈Nivbij(t)(vi(t−τ2)−vj(t−τ2))(4-49)u_i(t) = -K_p \sum_{j \in N_i^x} a_{ij}(t) (x_i(t\green{-\tau_1}) - x_j(t\green{-\tau_1})) - K_v \sum_{j \in N_i^v} b_{ij}(t) (v_i(t-\blue{\tau_2}) - v_j(t\blue{-\tau_2})) \tag{4-49}ui​(t)=−Kp​j∈Nix​∑​aij​(t)(xi​(t−τ1​)−xj​(t−τ1​))−Kv​j∈Niv​∑​bij​(t)(vi​(t−τ2​)−vj​(t−τ2​))(4-49)

---

4.3.3 不确定附加非线性因素作用下的潜航器编队协调控制

因附加非线性因素的存在，原模型（2-54）转变成具有附加非线性项的二阶积分模型，
x˙i(t)=vi(t)v˙i(t)=fv(xi(t),vi(t))+ui(t)(4-65)\begin{aligned} \dot{x}_i(t) =& v_i(t) \\ \dot{v}_i(t) =& \red{f_v(x_i(t), v_i(t)) +} u_i(t) \\ \end{aligned} \tag{4-65}x˙i​(t)=v˙i​(t)=​vi​(t)fv​(xi​(t),vi​(t))+ui​(t)​(4-65)

根据式（4-16），设存在不同时变延迟环节的潜航器编队协调控制器为
ui(t)=−Kp∑j∈Nixaij(t)(xi(t−τ1)−xj(t−τ1))−Kv∑j∈Nivbij(t)(vi(t−τ2)−vj(t−τ2))(4-66)u_i(t) = -K_p \sum_{j \in N_i^x} a_{ij}(t) (x_i(t\green{-\tau_1}) - x_j(t\green{-\tau_1})) - K_v \sum_{j \in N_i^v} b_{ij}(t) (v_i(t-\blue{\tau_2}) - v_j(t\blue{-\tau_2})) \tag{4-66}ui​(t)=−Kp​j∈Nix​∑​aij​(t)(xi​(t−τ1​)−xj​(t−τ1​))−Kv​j∈Niv​∑​bij​(t)(vi​(t−τ2​)−vj​(t−τ2​))(4-66)

---

4.4 负责海洋环境扰动下领航者跟随队形的潜航器编队协调控制

4.4.1 未知海流扰动下的潜航器编队协调控制

海流是随着海域、深度、时间、水文、盐度等若干因素变化而变化，难以用具体函数描述。通常针对潜航器的任务区域以及时间等因素，在有限的时间和范围内构建局部海流流速和方法。

在海流扰动 fc(x)f_c(x)fc​(x) 作用下，线性领航者潜航器的模型为
x˙l=vl+fc(t)(4-85)\dot{x}_l = v_l \red{+ f_c(t)} \tag{4-85}x˙l​=vl​+fc​(t)(4-85)

其中领航者的速度 vl(t)v_l(t)vl​(t) 是根据任务随时间 ttt 发生变化。

在海流扰动 fc(x)f_c(x)fc​(x) 作用下，跟随者的模型可以定位为
x˙i(t)=vi(t)+fc(t)v˙i(t)=ui(t)(4-86)\begin{aligned} \dot{x}_i(t) =& v_i(t) \red{+ f_c(t)} \\ \dot{v}_i(t) =& u_i(t) \\ \end{aligned} \tag{4-86}x˙i​(t)=v˙i​(t)=​vi​(t)+fc​(t)ui​(t)​(4-86)

取潜航器在领航者跟随队形结构下 ttt 时刻的协调控制输入为
ui(t)=−Kp∑j∈Nixaij(t)(xi(t−τ1)−xj(t−τ1))−Kv∑j∈Nivbij(t)(vi(t−τ2)−vj(t−τ2))−Kpcli(t)(xi(t−τ1)−xl(t−τ1))−Kvdli(t)(vi(t−τ2)−vl(t−τ2))(4-87)\begin{aligned} u_i(t) =& -K_p \sum_{j \in N_i^x} a_{ij}(t) (x_i(t\green{-\tau_1}) - x_j(t\green{-\tau_1})) - K_v \sum_{j \in N_i^v} b_{ij}(t) (v_i(t-\blue{\tau_2}) - v_j(t\blue{-\tau_2})) \\ & -K_p c_{li}(t) (x_i(t\green{-\tau_1}) - x_l(t\green{-\tau_1})) - K_v d_{li}(t) (v_i(t-\blue{\tau_2}) - v_l(t\blue{-\tau_2})) \\ \end{aligned} \tag{4-87}ui​(t)=​−Kp​j∈Nix​∑​aij​(t)(xi​(t−τ1​)−xj​(t−τ1​))−Kv​j∈Niv​∑​bij​(t)(vi​(t−τ2​)−vj​(t−τ2​))−Kp​cli​(t)(xi​(t−τ1​)−xl​(t−τ1​))−Kv​dli​(t)(vi​(t−τ2​)−vl​(t−τ2​))​(4-87)

---

4.4.2 海洋噪声环境下的潜航器编队协调控制

在上文分析结果的基础上，首先假设潜航器编队在水下机动时会产生附加非线性因素，其次，将海流等外部扰动概括为未知外部扰动。

取外部海流扰动 ωi(t)\omega_i(t)ωi​(t) 为有界连续函数。在此约束条件下，反馈线性化后的跟随者潜航器模型可以表示为

x˙i(t)=vi(t)+ωi(t)v˙i(t)=ui(t)+fv(xi(t),vi(t))(4-105)\begin{aligned} \dot{x}_i(t) =& v_i(t) \red{+ \omega_i(t)} \\ \dot{v}_i(t) =& u_i(t) \red{+ f_v(x_i(t), v_i(t))} \\ \end{aligned} \tag{4-105}x˙i​(t)=v˙i​(t)=​vi​(t)+ωi​(t)ui​(t)+fv​(xi​(t),vi​(t))​(4-105)

领航者潜航器的模型为

x˙l(t)=vl(t)+ωl(t)v˙l(t)=fv(xl(t),vl(t))(4-106)\begin{aligned} \dot{x}_l(t) =& v_l(t) \red{+ \omega_l(t)} \\ \dot{v}_l(t) =& \red{f_v(x_l(t), v_l(t))} \\ \end{aligned} \tag{4-106}x˙l​(t)=v˙l​(t)=​vl​(t)+ωl​(t)fv​(xl​(t),vl​(t))​(4-106)

其中，ωi(t),ωl(t)\omega_i(t), \omega_l(t)ωi​(t),ωl​(t) 表示外部海流扰动，fv(xi(t),vi(t))f_v(x_i(t), v_i(t))fv​(xi​(t),vi​(t)) 表示系统的附加非线性因素。

---

4.5 仿真验证

4.5.1 不稳定通信条件下无领航者潜航器编队协调控制

4.5.2 复杂海洋环境下领航者跟随者潜航器编队协调控制

（1）海流干扰下的领航者跟随编队协调控制

假设定常海流为 uc=[0.25,0.25,0]m/su_c = [0.25, 0.25, 0]m/suc​=[0.25,0.25,0]m/s。

---

（2）海洋背景噪声及外部扰动作用下的领航者跟随编队协调控制

海洋背景噪声对水声通信声道的影响被定义为幅值为 1 的高斯白噪声，且每个水声通信声道都存在任意的噪声强度。

附加非线性因素定义为与潜航器速度状态相关的饱和函数，如式（4-152）所示，且满足泊松分布：P(f(t,xi))=0.5P(f(t,x_i)) = 0.5P(f(t,xi​))=0.5。

f(t,xi)=0.01tanh⁡(vi(t))(4-152)f(t,x_i) = 0.01 \tanh(v_i(t)) \tag{4-152}f(t,xi​)=0.01tanh(vi​(t))(4-152)

其中 vi(t)v_i(t)vi​(t) 表示当前时刻第 iii 个潜航器的速度状态向量。

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