《3D Math Primer for Graphics and Game Development》读书笔记1

本文是《3D Math Primer for Graphics and Game Development》第一版的读书笔记。第二版貌似还没有中文版。

本书网站gamemath.com。中文版居然给了翻译公司的网址，而且里面还什么有用的都没有，囧。

第2章 笛卡尔坐标系统

左手坐标系的记忆方法

伸出左手，手指依次是（1）大拇指、（2）食指、（3）中指；坐标轴按字母表依次是（1）X轴、（2）Y轴、（3）Z轴。他们分别对应起来，用左手摆成下图的样子（不错的pose啊），就是左手坐标系。

右手坐标系的记忆方法

同上，用右手就行了。

约定俗成和习惯

传统的计算机图形学使用左手坐标系，线性代数则倾向于右手坐标系。

两种坐标系没有优劣之分，只是使用习惯不同。

本书使用左手坐标系。

第3章 多坐标系

摄像机坐标系

本书约定的摄像机坐标系，摄像机在原点，X轴向右，Z轴向前，Y轴向上，如下图所示。

许多图形学书中习惯使用右手系，Z轴向外，即从屏幕指向读者。

坐标系变换

坐标系变换的意思：知道某一点P在坐标系A中的坐标，如何获取P在另一坐标系B中的坐标？

只需在坐标系A中定位坐标系B（描述B的原点和轴在A中的值）。后文会详述。

包围盒

向量轴对齐包围盒是axially aligned bounding box（AABB）的翻译。我就是觉得包围盒这个翻译很不错。

第4章 向量

相对位置

"50英里每小时的速度向北"能用向量表示。

向量能描述的是相对位置。相对位置的想法是很直接的：某个物体的位置，能通过描述它与已知点之间的相对关系来指明。

由此引出一个问题，这些"已知"点在哪儿？什么是"绝对"位置？令人吃惊的是不存在这样的东西。因为在描述一个点的位置时，总要描述它和其它一些点的关系。这就没完没了了。

既然"已知"点不存在，那么如何通过所谓的"已知"点来描述位置呢？我的思路是：假设存在一个已知点的位置。假设已经找到了一个已知点，这样就不必无限地去追溯"已知"点了。

相对论的一个重要观点就是不存在绝对参考系。

第5章 向量运算

向量和点的关系

向量[x, y]描述了原点到点(x, y)的位移量。

向量和点在概念上不同，而在数学上等价。

等价是什么意思？等价就是两者存在一一对应的关系。一一对应是什么意思？就是即使你和我毫不相干，但是你有一个什么东西，我就有一个相应的什么东西；反过来也一样。比如你在照镜子，你看到镜子里的人脸上粘个米粒，就知道自己什么情况了。

向量投影

给定两个向量v和n，可以把v分成两部分：v_||和v_⊥。它们分别平行和垂直于n, 并满足v = v_|| + v_⊥。我们把平行分量v_||称作v在n上的投影。

投影的计算公式：

垂直分量的公式：

后文会有很多地方用到这两个公式。总之你知道有这两个公式存在就行了，需要的时候拿来用。毕竟不需要做数学家。

第6章 3D向量类

类接口

好的类设计首先要回答下列问题："这个类将提供什么操作？"、"在哪些数据上执行这些操作？"

从这些代码和设计思路中就可以感受到作者的认真态度和深厚功底。

设计决策

如果世界不超过1英里，那么32位的float类型就足够，因为24位尾数能提供1/250英寸的精度。

如果世界超过200英里（321.8688千米），比如整个江苏省，那么32位float就不够了。

不存在Point3类

有了Vector3类，就不需要Point3类。避免重复代码以及满世界的向量与点的转换。

关于优化

过早的优化是一切罪恶的根源。优化那些非瓶颈的代码，使代码复杂化，却没有得到相应的回报。

在过去，定点数是一种优化技术。当今的处理器已经可以快速处理浮点数，这个技术就不需要了。

不要为了2%的优化付出100%的代码复杂性。

简单点说，就是别优化，我的技术水平没那么高。

第7章 矩阵

矩阵用来描述两个坐标系间的关系，通过定义一种运算来将一个坐标系中的向量/点转换到另一个坐标系中。换句话说，就是已知一个向量/点在坐标系A中的坐标，又知坐标系A和坐标系B的关系，求其在坐标系B中的坐标。

向量是标量的数组，矩阵是向量的数组。

矩阵的下标从1开始。

矩阵乘法

记r×n矩阵A与n×c矩阵B的乘积为C。C的任意元素Cij如下：

矩阵乘法设计成这样，是因为有实际意义，数学上也有研究价值。或者说，正是因为它反映了现实世界的某些东西，才会有数学意义。

本书给了一种非常好的记忆方法：

我扩展了一下，可以将A的各个列拆开，同时将B的各个行拆开：

变成下图所示的样子：

可以看到，矩阵的乘法运算，可以把A的各列拆开，B的各行拆开，分别运算，最后相加。拆分时，只要A的列和B的行的拆分方式相同即可。

还有另一种拆法：把A的各行拆开，B的各列拆开，分别运算，最后拼起来。

而且，还可以同时进行这两种拆分。这时，你可以看做先进行第一种拆分，然后进行第二种拆分，这样（对我来说）比较容易理解。这样就能理解矩阵分块计算的原理。

约定和习惯

本书默认使用行向量进行与矩阵的运算。

DirectX使用的是行向量。

OpenGL使用的是列向量。

线性变换

线性变换保留了模型中原有的直线和平行线，原点也保持不动。长度、角度、体积可能会改变。从非技术意义上说，线性变换可能"拉伸"坐标系，但不会"弯曲"或"卷折"坐标系。

旋转、缩放、投影、镜像是线性变换。

仿射（线性变换后平移）不是线性变换。

方阵能描述线性变换。

矩阵运算和3D变换

设有一组基向量p0=(1, 0, 0)，q0=(0, 1, 0)，r0=(0, 0, 1)，此时向量v=(x, y, z)就是v在p0=(1, 0, 0)，q0=(0, 1, 0)，r0=(0, 0, 1)这个坐标系里的坐标，即有v = xp0 + yq0 + zr0。

设p、q、r为任意一组基向量。例如p=(1, 0, 0)，q=(0, 1, 0)，r=(0, 0, 1)（互相垂直）；或p=(0.8, 0.6, 0)，q=(-0.6, 0.8, 0)，r=(0, 0, 1) （互相垂直）；或p=(1/√5)(2,-1,0)，q= (1/√45)(2,4,5)，r= (1/3)(1,2,-2) （互相垂直）或p=(1, 1, 1-√2 )，q=(1-√2, 1, 1)，r=(1, 1-√2, 1)（并非互相垂直）……

然后，我们用p、q、r构造矩阵。没什么理由，就这么做了。

来看看向量v=(x, y, z)乘以矩阵会出现什么？

从左边到第一个等号右边，说明这个乘法运算给v赋予了新的坐标值。废话。

从第一个等号右边到第二个等号右边，说明这个新的坐标值与基向量p、q、r的关系等同于v与原始基向量p0=(1, 0, 0)，q0=(0, 1, 0)，r0=(0, 0, 1)的关系，这就是新坐标值的意义所在。

这也是矩阵乘法设计成这样的价值所在。

所以，把3×3矩阵M的3行看做转换后的3个基向量，那么任意一个1×3的行向量v乘以M，就得到了v转换后的坐标。这就是说，乘以该矩阵就相当于执行了一次坐标转换。若有aM=b，我们就可以说，M将a转换到b。

如何建立需要的矩阵？

上一节说明了，3×3矩阵的每一行都能解释为转换后的基向量。初始坐标系中的向量/点经过转换，得到了各自新的坐标值。那么，初始坐标系中的基向量p0=(1, 0, 0)，q0=(0, 1, 0)，r0=(0, 0, 1)经过转换，得到的新坐标值是？

观察这三个式子，你会发现新的基向量恰好组成了我们需要的转换矩阵。

一般情况下，我们是不能预先得到转换矩阵的。而三个式子就给出了获取转换矩阵的方法。就是说，只要我们能先用别的什么方法求出新的基向量的坐标值，就能拼出转换矩阵，然后就可以从任意一个向量/点的初始坐标值得到其新的坐标值！

总之，矩阵等价于变换后的基向量。

2D示例

比如这个矩阵：

这个矩阵代表的变换是什么？

首先，从矩阵中抽出基向量p和q：

下图展示了p0=(1, 0), q0=(0, 1)转换到p,q后的样子：

加个图片会看起来更直观：

“不幸的是，没有人能告诉您矩阵像什么——您必须自己去感受。”