n级阶梯，人一步只能上1～2级，求一共有几种走法？

B站上有这样一道题：

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说的是求一个n级的阶梯，人每次一步只能上1～2级，问一共有几种走法？

这是Leetcode上的一道题，Up主的核心思路是使用路径搜索的递归算法，然后把每次的计算结果放在缓存里面。

如果从数学的角度分析一下，这其实是个组合问题。

我们把所有的步子作为一个集合S，这个问题就是从S里取出一步迈了2级（或1级）的情况的问题。假设迈一级的步子总数是k1，迈二级的步子总数是k2，则有

$k_{1}=n-2\cdot k_{2}$

则步子总数t为

$t=k_{1}+k_{2}=n-k_{2}$

从t个步子里面取出k2个步子，作为一步2级的取法，剩下的步子都是一步1级，那么取法就是：

$C_{t}^{k_{2}}=C_{n-k_{2}}^{k_{2}}$

那么k2的范围怎么取呢？

k2不会超过n的一半，且可以存在全部是一步1级的情况；而且，由于每一个一步2级都可以拆分成两个一步1级，所以k2应该是连续的整数。即：

$k_{2}\in \left [ 0,\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor \right ], k_{2}\in \mathbb{N}$

所以走法的总数就是

$\sigma =\sum_{k_{2}=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}C_{n-k_{2}}^{k_{2}}$

以n=5为例，走法总数 $\sigma =\sum_{k_{2}=0}^{2}C_{k_{2}}^{5-k_{2}}=C_{5}^{0}+C_{4}^{1}+C_{3}^{2}=8$

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