七大实数理论简介

（一）确界原理

定义1.1：

是一个非空数集，
是一个常数，若
，有
，则称
是数集
的一个上界。同理，若
，有
，则称
是数集
的一个下界。

定义1.2：若

是数集
的一个上界，并且有
，
，满足
，则称
是数集
的上确界。类似的，若
是数集
的一个下界，并且有
，
，满足
，则称
是数集
的下确界。

定理1.1：若数集

有上确界，则上确界是唯一的。

证明：使用反证法，若

是数集
的上确界，假设还有
也是上确界。

若

，根据定义1.2的否定，取
，此时
，有
，有
，因此
不是数集
的上确界。

若

，根据定义1.2，取
，那么
，使得
，因此
不是数集
的上确界。

综上所述，

，上确界唯一。

类似的，我们有：

定理1.2：若数集

有下确界，则下确界是唯一的。

定理1.3：若数集

的下确界为
，定义数集
， 那么数集
的上确界是
。

证明：由于

是数集
的下界，根据定义1.1，有
，
，
是数集
的上界。根据定义1.2有
，
，满足
，也就
，满足
。因此
是数集
的上确界。

类似的，我们有：

定理1.4：若数集

的上确界为
，定义集合
， 那么数集
的下确界是
。

在定理1.3的证明过程中我们可以得到如下结论：

定理1.5：若

是数集
的下界，定义数集
， 那么
是数集
的上界。

定理1.6：若

是数集
的上界，定义数集
， 那么
是数集
的下界。

定理1.7（确界原理）：有上界的非空数集必有上确界。

推论：有下界的非空数集必有下确界。

证明：设

是数集
的一个下界，定义数集
， 根据定理1.5，
是数集
的上界。再根据定理1.7（确界原理），数集
必有上确界
，再根据定理1.4，数集B的下确界为
。

注：确界原理可以被看做公理，它是实数的连续性或完备性的体现，即实数包含了数轴上所有的点，没有空隙。数集

的上确界常被记作
，下确界记作
。

（二）区间套定理

定理2.1（区间套定理）：数列

和
构成闭区间列
，满足

（1）

有

（2）

则区间列

，存在唯一公共点
，且
。

注：该定理闭区间条件必不可少，例如区间列

和
都不存在公共点
。

（三）单调有界原理

定义3.1：若一个数集既有上界，又有下界，则称这个数集有界。

定理3.1（单调有界原理）：单调有界的数列必有极限。

注：后面我们会证明，若数列单调递增，则极限为上确界，若单调递减，则极限为下确界。

（四）柯西收敛原理

定理4.1（柯西收敛准则）：若对于数列

，
，
，当
时，对一切自然数
，有
。则数列
收敛。

定理4.2（柯西收敛准则逆命题）若数列

收敛，则
，
，当
时，对一切自然数
，有
。

证明：设

，根据极限定义，
，，
，当
时，
，同时因为
，也有
。因此
。得证。

注：多数教科书上把以上两个命题称为柯西收敛准则，笔者认为这是不妥的。定理4.2的证明完全来自于极限的定义，不依赖与其他六个实数理论中的任何一个，与他们不能互推。因此，柯西收敛准则在本文中指的就是定理4.1。

（五）致密性定理

定义5.1：在一个数列中，按原顺序任意选出无穷多项，构成一个新的数列。这个新的数列称为原数列的子列。

定理5.1（致密性定理）：有界数列必有收敛子列。

（六）聚点定理

定义6.1：

，开区间
称为
的
邻域，记作
,
称作该邻域的半径。

定义6.2：

，
称为
的去心
邻域，记作
。

定义6.3：设

是数集，实数
满足，
，满足
，则称
为
的聚点。

定理6.1（聚点定理）：有界无穷点集至少有一个聚点。

定理6.2：若

为
的聚点，则
的任何
邻域均包含无限个
中的点。

证明：假设

的任何
邻域仅仅包含
个
中的点，记作
，令
，则有
，
不是聚点。

（七）有限覆盖定理

定理7.1（有限覆盖定理）：若开区间所成的区间集

覆盖闭区间
，则可以从
中选出有限个区间覆盖
。

注：区间集

必须为开区间集，否则集合不能成立。

七大实数理论互推

（一）确界原理

（三）单调有界定理

定理3.1（单调有界原理）：单调有界的数列必有极限。

不妨设数列

单调递增。显然它有上界，根据确界原理，记上确界为
。

根据上确界的定义，

，
，由于单调递增，
时有
。同时显然有
。故
成立，故
的极限就是上确界
。

同理可证，当

单调递减时，极限为下确界。

（三）单调有界定理

（二）区间套定理

定理2.1（区间套定理）：数列

和
构成闭区间列
，满足

（1）

有

（2）

则区间列

，存在唯一公共点
，且
。

由于

单调递减，
单调递增，且
，根据单调有界原理，两个数列的极限均存在。
。显然两者极限相等，记为
，并且
为
的下确界，
的上确界。故有
。

若

不唯一，假设有
，由夹逼定理得，
，故
，因此
唯一。

（二）区间套定理

（一）确界原理

定理1.7（确界原理）：有上界的非空数集必有上确界。

设

为任一非空有上界数集，若实数
是
的最大值，可以验证
就是上确界。

若

没有最大值，则随意取
，
为
的任一上界。若
为上界，则令
，
，反之，则令
，
这样依次取得数列
和
，构成区间套
，且
。根据区间套定理，存在唯一
，使
。

由于

是上界，
有
，两侧取极限有
。故
是
的上界。

由于

，
，有
，使得
时有
，又因为
不是上界，故
,有
。因此
是上确界。

（二）区间套定理

（五）致密性定理

定理5.1（致密性定理）：有界数列必有收敛子列。

设

为一有界数列，有
，将区间
分成
和
两部分，显然至少一个区间包含无穷多项，取那个区间的下界记作
，上界记作
。在该区间任取一项记作
。依次取下去得到数列
和
和闭区间列
，且
。根据区间套定理，
，由于每一个区间包含无穷多项，因而可以取到完整的子列
，并且有
，根据夹逼定理有
。

（二）区间套定理

（六）聚点定理

定理6.1（聚点定理）：有界无穷点集至少有一个聚点。

证明方法与上面一个类似。

（二）区间套定理

（七）有限覆盖定理

定理7.1（有限覆盖定理）：若开区间所成的区间集

覆盖闭区间
，则可以从
中选出有限个区间覆盖
。

假设区间

不能被
中有限个开区间覆盖，则将区间
分成
和
两部分，至少有一个不能被有限个开区间覆盖，记为
，这样依次等分，得到一区间列
，不难验证该区间列满足区间套定理的使用条件，因而有
。由于
能覆盖闭区间
，因此存在开区间
，有
，由数列极限的定义，
，当
时有
。即
。与假设矛盾。

（五）致密性定理

（四）柯西收敛原理

定理4.1（柯西收敛准则）：若对于数列

，
，
，当
时，对一切自然数
，有
。则数列
收敛。

取

，
，当
时，对一切自然数
，有
。取
。则有
时有
，因此
有界。由致密性定理，
存在收敛子列
，不妨设
。根据极限定义，
，
，当
时有
，再考虑柯西列的定义，
，当
时有
，从而当上述两条件均满足时有
，故数列
收敛。

（四）柯西收敛原理

（二）区间套定理

设闭区间列

，满足

（1）

有

（2）

由条件（2），

，
，当
时有，
。对一切自然数
，有
，因而有
，
。由柯西收敛准则，数列
和
都收敛。再根据
。有
。由于极限的唯一性，
唯一。

（五）致密性定理

（六）聚点定理

设点集

为一有界无穷点集，依次任取
中不重复的点构成数列
，根据致密性定理，必存在收敛子列满足
，由极限定义，
，
，使
时有
，因而
是聚点。

（六）聚点定理

（五）致密性定理

设数列

有界，显然可以看做一无穷点集，根据聚点定理，至少存在一个聚点
。依次从
的
邻域中取一项，记作
，根据定理6.2，可以无限取下去构成子列
，且有
，易证 S
。

（七）有限覆盖定理

（六）聚点定理

设

为一有界无限点集，
，
。假设
没有聚点，即
，在
的
去心领域内只包含有限多项，这些领域可以构成开区间集
，根据有限覆盖定理，该开覆盖必有有限子覆盖
能够覆盖区间
。然而
中的有限个开区间必然只包含有限个
中的点，与已知矛盾。

（七）有限覆盖定理

（五）致密性定理

将数列看作无穷点集，证明与上类似。

至此，我们完成了七大实数理论的连接，即从任何一个实数理论出发可以推出其它六个定理（如文章开始的图所示）。

该图所展示的逻辑架构为多数国内数学分析教材的论证过程，事实上，任何两个实数理论之间均可以互推，具体内容如下：

乌兰巴托海军：七大实数理论互推完整版​zhuanlan.zhihu.com

一下这篇文章讲述了实数理论在数学分析中的应用：

乌兰巴托海军：实数理论的基本应用​zhuanlan.zhihu.com

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