GF(2)域求两多项式的最大公因式

//在GF(2)域中求两多项式的最大公因式
//注意多项式是降幂排列的还是升幂排列的
//b(x) = x^2, a(x) = x^3 + x^2 + 1
//降幂排列表示
//b = [1 0 0];
// a = [1 0 1 1];
//升幂排列表示
b = [ 0 0 1];
a = [1 1 0 1];
while(sum(b) > 0)
t = b;
//注意！conv和deconb函数认为多项式按降幂排列
[q,r] =deconv(a,b);
b =mod(r,2);
ind =find(b,1,‘first’);
b =b(ind:end);
//而gfconv和gfdeconv等函数认为多项式按升幂排列
//例如[0 0 1]代表x^2
[quot,remd] = gfdeconv(a,b);
b = remd;
a = t;
end

扩展欧几里得求两多项式最大公因式

设多项式的系数按照幂次由高到低的顺序存于一维数组中，多项式的最高幂次存于一变量中。
辗转相除法求两多项式去除另一个多项式，然后将所得余式变成除式，原除式变为被除式。如此反复相除，直到余式为零，最后的除式即为最大公因式
代码：（1）

#include<stdio.h>
#define N 10
int main()
{float a[N+1],b[N+1],c[N+1];int i,j,n,m,k,flag;float x,y;printf("Please input the highest power of two polynomials(n,m):");scanf("%d,%d",&n,&m);printf("Please enter the coefficients of the terms of the polynomial(x) in order of power from high to low:\n");for(i=ni>=0;i--)scanf("%f",&a[i]);printf("请按幂次由高到低输入多项式B(x)各项的系数:\n");for(j=m;j>=0;j--)scanf("%f",&b[j]);if(n<m){for(i=n;i>=0;i--){c[i] = a[i];a[i] = b[i];b[i] = c[i];}for(i=n+1;i<=m;i++)a[i] = b[i];flag = n;n = m;m = flag;}flag = 1;while(flag){for(k=n-m;k>=0;k--){x = a[k+m]/b[m];for(j=m-1;j>=0;j--){y = a[k+j] - x * b[j];a[k+j] = (y<0.0005 && y>-0.0005)?0.0:y;}}for(i=m;i>=0;i--}c[i] = b[i];for(flag=0,i=m-1;i>=0;i--){if(a[i]!=0)flag = 1;b[i] = a[i];}for(i=m;i>=0;i--)a[i] = c[i];n = m--;}printf("这两个多项式的公因式是:");for(i=n;i>=0;i--)if(i!=0)printf("%4.1fx^%d+",a[i],i);elseprintf("%4.1f\n",a[i]);return 0;}

代码：（2）

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>using namespace std;
typedef long long LL;
const double eps = 1e-8;
const int MOD = 999983;
const int N = 55;struct Poly
{int n;LL a[N];
};Poly p[25];LL gcd(LL a,LL b)
{return b? gcd(b,a%b):a;
}Poly delete_zero(Poly x)
{int i,j;Poly tmp;for(i=0;i<x.n && x.a[i] == 0;i++);for(j=0;i<x.n;i++,j++) tmp.a[j] = x.a[i];tmp.n = j;return tmp;
}Poly poly_gcd(Poly x,Poly y)
{x = delete_zero(x);y = delete_zero(y);Poly yy = y,tmp;tmp.n = 0;int i=0;if(x.n == y.n){double k = x.a[0] / y.a[0];for(i=1;i<x.n;i++)if(fabs(x.a[i]*1.0 - k*y.a[i]) > eps) break;if(i == x.n) return y;}LL g = gcd(x.a[0],y.a[0]);LL tx = y.a[0] / g;LL ty = x.a[0] / g;for(i=0;i<x.n;i++){x.a[i] *= tx;x.a[i] %= MOD;}for(i=0;i<y.n;i++){y.a[i] *= ty;y.a[i] %= MOD;}if(x.n < y.n) swap(x,y);for(i=1;i<y.n;i++)tmp.a[i-1] = ((x.a[i] - y.a[i])%MOD + MOD)%MOD;for(;i<x.n;i++)tmp.a[i-1] = x.a[i];tmp.n = x.n - 1;tmp = delete_zero(tmp);if(tmp.n == 0) return yy;return poly_gcd(y,tmp);
}

具体数学原理见@回首~阑珊

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