中国剩余定理

//中国剩余定理模板代码
typedef long long ll;
ll china(ll a[],ll b[],int n)//a[]为除数，b[]为余数
{ll M=1,y,x=0;for(int i=0;i<n;++i)  //算出它们累乘的结果M*=a[i];for(int i=0;i<n;++i){ll w=M/a[i];ll tx=0;int t=exgcd(w,a[i],tx,y);  //计算逆元x=(x+w*(b[i]/t)*x)%M; }return (x+M)%M;
}

具体数学原理证明见@回首~阑珊

一次同余式

设m是正整数,a是满足ma的整数.则一次同余式
ax≡1(mod m)
有解的充分必要条件是(a,m)=1.而且,当同余式(3)有解时,解是惟一的
证充分性.(存在性)因为(a,m)=1,根据广义欧几里得除法
可找到整数s,t使得
s · a + t · m = (a,m) = 1.
因此,x=s(modm)是同余式(3)的解(惟一性)若还有解x1,即ax1=1(modm),则有
a(x – x1 ) ≡ 0 (mod m)
因为(a,m)=1,所以x1≡x(modm).解是惟一的
再证必要性：若同余式(3)有解x≡xo(modm),则存在整数q,使得a·x0=1+q·m.根据定理有(a,m)=1.定理成立.证毕

乘法逆元

定义3.1.2设m是一个正整数,a是一个整数.如果存在整数a′使得
a · a 0 ≡ a 0 · a ≡ 1 (mod m)
成立,则a叫做模m可逆元
根据定理，在模m的意义下,a′是惟一存在的.这时a叫做a
的模m逆元,记作
a 0 = a −1 (mod m).
因此,在定理的条件下,同余式(3)即
ax≡1(modm)的解可写成x ≡ a ^(−1) (mod m).

简化剩余的等价描述

设m是一个正整数.则整数a是模m简化剩余的充要条件是整数α是模m逆元
证：必要性.如果整数α是模m简化剩余,则(a,m)=1.根据定
理，存在整数a′使得
a · a 0 ≡ a 0 · a ≡ 1 (mod m).
因此，a是模m逆元
充分性.如果α是模m逆元,则存在整数α′使得
a · a 0 ≡ 1 (mod m).
即同余式
ax≡1(modm)
有解x≡a(modm).又有(a,m)=1.因此,整数a是
模m简化剩余.

最后,考虑通常的一次同余式的求解
设m是一个正整数,a是满足m不整除a的整数，则一次同余式
ax ≡ b (mod m)
有解的充分必要条件是(a,m)|b.而且,当同余式有解时,其解

二次同余式

求解形如 x^2 = a (mod p) 这样的同余式
代码：

/*
模P平方根：求 X ^2 = a (mod p)定理：当P为奇素数的时候先判断（a / p )的勒让德符号， 若为-1则无解，若为1则有解分解P-1,然后求B，然后求出X(t-1),和a的逆元然后开始求 ans = （ a的逆元 * 上一个X的平方（t-k））的(t-k-1)次方对P取模如果  ans == -1 则 J = 1；如果  ans ==  1 则 J = 0；然后开始求现在的 X = （上一个X * B的（J*2的k次方）次方直到求出X0，也就是最后的解
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;void Divide(int p, int &t, int &s)
{t = 0, s= 0;while(p % 2 == 0){t++;p /= 2;}s = p;return ;
}int Pow(int a, int b, int mod)
{int ans = 1, base = a;while(b != 0){if(b & 1)ans = (ans * base) % mod;base = (base * base) % mod;b >>= 1;}return ans;
}int Legendre(int a, int p)
{if(a == 2){int x = (p+1)*(p-1)/8;if(x % 2 == 0)return 1;elsereturn -1;}else{int ans = Pow(a, (p-1)/2, p);if(ans == p-1)return -1;elsereturn 1;}
}int FindN(int p)
{for(int i = 1; i < p; i++){if(Legendre(i, p) == -1)return i;}
}int e_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
{if(b == 0){x = 1; y = 0;return a;}int q = e_gcd(b, a%b, y, x);y -= a/b*x;return q;
}int Inverse(int a, int m)
{int x, y;int gcd = e_gcd(a, m, x, y);if(1 % gcd != 0)return -1;x *= 1/gcd;m = abs(m);int ans = x % m;if(ans <= 0)ans += m;return ans;
}int JudgeJ(int A, int x, int t, int p)
{cout << A << " " << x << " " << t << " " << p << endl;x = ((x % p) * (x % p) % p);int xx = (A * x) % p;int ans = Pow(xx, pow(2, t), p);if(ans == p-1)return 1;elsereturn 0;
}int main()
{int a, p;printf("请输入所求算式的 a 和 p：\n");while( scanf("%d %d", &a, &p) != EOF){if(Legendre(a, p) == -1){cout << "无解" << endl;continue;}int t, s;Divide(p-1, t, s); //求t和sint n = FindN(p);  //找到那个不符合条件的nint b = Pow(n, s, p);int *X;X = (int *) malloc(sizeof(int) * (t+5));X[t-1] = Pow(a, (s+1)/2, p);t--;int A = Inverse(a, p);          //求A的逆元int k = 0;while(t > 0){int j = JudgeJ(A, X[t], t-1, p);int B = Pow(b, j * pow(2, k), p);X[t-1] = ((X[t] % p) * (B % p)) % p;t--; k++;}printf("所求的解为：");cout << X[0] << endl;}return 0;
}

雅可比符号

long Jacobi(const ZZ& aa, const ZZ& nn)
{ZZ a, n;long t, k;long d;a = aa;n = nn;t = 1;while (a != 0) {k = MakeOdd(a);d = trunc_long(n, 3);if ((k & 1) && (d == 3 || d == 5)) t = -t;if (trunc_long(a, 2) == 3 && (d & 3) == 3) t = -t;swap(a, n);rem(a, a, n);}if (n == 1)return t;elsereturn 0;
}

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