四种求最大公约数的算法 C / C++

文章目录

前言
一、辗转相除法
- 1. 算法简介
- 2. 算法描述
- 3. 代码及复杂度
二、穷举法（枚举法）
- 1. 算法简介
- 2. 算法描述
- 3. 代码及复杂度
三、更相减损法
- 1. 算法简介
- 2. 算法描述
- 3. 代码及复杂度
四、Stein算法（二进制算法）
- 1. 算法简介
- 2. 算法描述
- 3. 代码及复杂度

前言

本篇文章总结了四种求最大公约数的常用算法。
包括：辗转相除法、穷举法（枚举法）、更相减损法、Stein算法。
每个算法都附加流程图及 C/C++ 代码，并对其时间复杂度进行了分析。

一、辗转相除法

1. 算法简介

辗转相除法又称欧几里得算法，是指用于计算两个正整数a，b的最大公约数。欧几里得算法可用于RSA加密等领域。

假如：需要求 2022 和 409 两个正整数的最大公约数,用欧几里得算法，是这样进行的：
2022 / 409 = 4 (余 386)
409 / 386 = 1(余 23)
386 / 23 = 16(余 18)
23 / 18 = 1 (余 5)
18 / 5 = 3 (余 3)
5 / 3 = 1 (余 2)
3 / 2 = 1 (余 1)
2 / 1 = 2 (余 0)
因此，最大公约数为1。
以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式除数为最大公约数，所以就得出了 2022 和 409 的最大公约数 1。

2. 算法描述

假设有两个数a、b (a > b)，c为a与b的余数，求a与b的最大公约数。

使用步骤:
Step 1 将两个数分别存入a、b中，并满足 a > b
Step 2 求 c = a % b
Step 3 判断 c 是否为 0
Step 4 若 c == 0 则 b 为最大公约数；若 c != 0 则重复步骤 2 ~ 4

流程图：

3. 代码及复杂度

// 辗转相除法
int gcd(int a,int b)
{if(a % b == 0)return b;elsereturn gcd(b ,a % b);
}

注意：调用该函数时，一定要保证 a > b

时间复杂度：O(log₂n)

二、穷举法（枚举法）

1. 算法简介

将问题的所有可能的答案一一列举，然后根据条件判断此答案是否合适，合适就保留，不合适就丢弃。

枚举算法要列举问题的所有可能的答案，所以它具备以下几个特点：
1、得到的结果肯定是正确的；
2、可能做了很多的无用功，浪费了宝贵的时间，效率低下。
3、通常会涉及到求极值（如最大，最小，最重等）。
4、数据量大的话，可能会造成时间崩溃。

2. 算法描述

采用枚举算法解题的基本思路：
（1）确定枚举对象、枚举范围和判定条件；
（2）枚举可能的解，验证是否是问题的解。

对于本算法，要从两个数中较小的数开始由大到小列举，找到公约数后立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数。

流程图：

3. 代码及复杂度

// 穷举法（枚举法）
int divisor(int a, int b) // 求两数的最大公约数的函数 返回值为最大公约数
{int  temp;// 定义整型变量temp 临时储存需要判断是否为最大公约数的值temp = (a > b) ? b : a;// 求出两个数中的最小值 赋给tempwhile (temp > 0){if (a % temp == 0 && b % temp == 0)// 只要找到一个数能同时被a,b所整除，则中止循环break;temp--;// 如不满足if条件则变量自减，直到能被a,b所整除 }return (temp);
}

时间复杂度：O(n)

三、更相减损法

1. 算法简介

更相减损法又叫更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。

2. 算法描述

使用步骤：
Step 1 任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。
Step 2 若是，则用2约简；若不是则执行Step 3。
Step 3 以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
Step 4 Step 2 中约掉的若干个 2 的积与 Step 3 中等数的乘积就是所求的最大公约数。
注：其中所说的 “等数” ，就是公约数。求 “等数” 的办法是 “更相减损法” 。

流程图：

3. 代码及复杂度

// 更相减损法
int gcd2(int a, int b)
{int i = 0, temp, x;while (a % 2 == 0 && b % 2 == 0)// 判断m和n能被多少个2整除{a /= 2;b /= 2;i++;}if (a < b) // a保存大的值{temp = a;a = b;b = temp;}do{x = a - b;a = (b > x) ? b : x; // 更新大数的值b = (b < x) ? b : x; // 更新小数的值if (b == (a - b))break;}while (x);if (i == 0)return b;elsereturn (int)pow(2, i) * b;
}

时间复杂度：O(n)

四、Stein算法（二进制算法）

1. 算法简介

Stein算法是一种计算两个数最大公约数的算法，是针对欧几里德算法在对大整数进行运算时，需要试商导致增加运算时间的缺陷而提出的改进算法。

Stein算法与欧几里德算法的对比：
欧几里德算法每次迭代中最恶劣的情况是，a = 2b - 1，这样，迭代后，r=b-1。
如果a小于2ⁿ，这样大约需要4n次迭代。
而Stein算法，每次迭代后，显然An+1Bn+1≤ AnBn/2，最大迭代次数也不超过4n次。
也就是说，迭代次数几乎是相等的。但是，需要注意的是，对于大素数，试商法将使每次迭代都更复杂，因此对于大素数，Stein算法将更有优势。

2. 算法描述

原理：gcd(kx,ky)=k*gcd(x,y)

对两个正整数 x>y ，分为以下情况：
均为偶数 gcd(x,y)=2gcd(x/2,y/2);
均为奇数 gcd(x,y)=gcd((x+y)/2,(x-y)/2);
x奇 y偶 gcd(x,y)=gcd(x,y/2);
x偶 y奇 gcd(x,y)=gcd(x/2,y) 或 gcd(x,y)=gcd(y,x/2).

流程图：

3. 代码及复杂度

//Stein算法
int Stein(unsigned int x, unsigned int y) // 求 x 和 y 的最大公因数
{int factor = 0;int temp;if (x < y) // 使两个数 x > y{temp = x;x = y;y = temp;}if (y == 0) // 排除求0的最大公因数的情况{return 0;}while (x != y){if (x & 0x1) // x为奇数{if (y & 0x1) // x为奇数 y也为奇数{y = (x - y) >> 1;x -= y;}else // x为奇数 y为偶数{y >>= 1;}}else // x为偶数{if (y & 0x1) // x为偶数 y为奇数{x >>= 1;if (x < y){temp = x;x = y;y = temp;}}else // x为偶数 y也为偶数{x >>= 1;y >>= 1;++factor;}}}return (x << factor);
}

时间复杂度：O(log₂n)