的联合概率密度函数f(x,y)

解：(X,Y)的概率密度为 变换为 解出逆变换为 雅可比行列式为 在变换之下，区域G={(x,y)|x>0,y>0}与 G*={(u,v)|u>0,v>0}一一对应。随机向量变换的其它条件均满足,因此由定理可得(U,V)的概率密度函数为 并有f(u,v)=fU(u)fV(v),所以随机变量U与V是相互独立的。 例11 设随机变量X与Y相互独立,且都服从标准指数分布,即他们的密度函数均为 求Z=X-Y的密度函数。 解：(X,Y)的概率密度为 对应于Z=X-Y，作变换 其逆变换为 而 因仅在u+v>0,v>0,即 v>-u，v>0上 f(x(u,v),y(u,v))≠0 当u<0时， 故Z=X-Y的密度函数为 例12 (例题7)设X与Y相互独立,它们的密度函数分别为 解 ,解出逆变换为 雅可比行列式为 X与Y的联合密度为 在变换之下,区域G={(x,y)|x>0,y>0}与G*={(u,v)|u>0,v>0}一一对应。随机向量变换的其它条件均满足,因此由定理可得(Z,V)的概率密度函数为 即 在G*上反函数不唯一，设有k个反函数 注:若 这时G *中一个点对应着G k个点,将G分成k个部分,D1,D2,…,Dk，使每个Di与G *一一对应,那么二维随机向量(Z,V)的密度函数为 其中 * * §5 多维随机变量的函数的分布 与一维随机变量的情形类似，若已知多个随机变量(X1,X2,…,Xn)的联合分布,需要确定它们的函数 Z=g(X1,X2,…,Xn) 的分布。以下介绍几种常见的多个随机变量的函数的分布，且以两个随机变量的函数和连续型随机变量为主。 一、Z=X+Y的分布 先考虑(X，Y)是离散型且X与Y相互独立的场合，不失一般性，设X和Y都取非负整数值，各自的概率分布为{ak}及{bk}，下面来计算随机变量Z=X+Y的分布律。因为 {Z=r}={X=0，Y=r}∪{X=1，Y=r-1}∪… ∪{X=r,Y=0} 利用独立性的假定得到 cr=P{Z=r}=a0br+a1br-1+…+arb0,r=0,1,2,…, 这就是求离散型独立随机变量和的概率分布公式——离散卷积公式，亦称离散褶积公式。 在X与Y非独立时，Z=X+Y分布律的求法类似。 例1 (泊松分布对和的封闭性) 设X1，X2独立， 证：因为 ， 及X1,X2独立,故 例2 设离散型r,v.(X,Y)的联合分布律如下： (X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) Pij 1/18 5/18 3/18 3/18 4/18 2/18 求(1)X+Y的分布律，(2)MAX(X,Y)的分布律 解：先列如下的草表,Z=X+Y,T=MAX(X,Y) (X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) Z 2 3 4 3 4 5 T 1 2 3 2 2 3 Pij 1/18 5/18 3/18 3/18 4/18 2/18 再由概率的加法原理,进行相应的合并则可得 Z=X+Y和T=MAX(X，Y)的分布律为： Z=X+Y 2 3 4 5 概率 1/18 8/18 7/18 2/18 T=MAX(X,Y) 1 2 3 概率 1/18 12/18 5/18 现在来考虑(X,Y)是连续型随机变量,设(X,Y)的密度函数为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为 o x y x+y=z 如图，积分区域G：x+y≤z是直线x+y=z的左半平面，化成累次积分得 例3 已知X,Y独立同分布且X~U (0,1)，求X+Y的概率密度函数。 解：由题设X,Y独立。 0 1 2 z 1 x z=x z=x-1 例4 X,Y互相独立， 证明：Z=X+Y的p.d.f.为正态概率密度，即： 证明： 若 其中 ，即X,Y不独立，求Z=X