前言

定义 \; 斐波拉契数列又称黄金分割数列，是指数列 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55 …，通过递推的方式可准确定义为 F 0 = 0 , F 1 = 1 , F n = F n − 1 + F n − 2 , ( n ≥ 2 , n ∈ N ∗ ) F_0=0, \; F_1=1, \; F_n=F_{n-1}+F_{n-2}, \; (n \geq 2, n ∈ N^*) F0=0,F1=1,Fn=Fn−1+Fn−2,(n≥2,n∈N∗)

记 ω = 1 + 5 2 \omega =\frac{1+\sqrt{5}}{2} ω=21+5 ， ω ˉ = 1 − 5 2 \bar{\omega} =\frac{1-\sqrt{5}}{2} ωˉ=21−5 ，则有斐波拉契数列的通项公式： F n = 1 5 ( ω n + ω ˉ n ) F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \omega^n + \bar{\omega}^n \right) Fn=5 1(ωn+ωˉn)

性质 \; 斐波拉契数列前一项与后一项之比的极限为黄金分割比，即有 lim ⁡ n → + ∞ F n F n + 1 = 5 − 1 2 \lim_{n \to +\infty} \frac{F_n}{F_{n+1}} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} n→+∞limFn+1Fn=25 −1

一、生成斐波拉契数列

按照递推公式即可写出如下代码：

def fibonacci(n):a, b = 0, 1for i in range(n):a, b = b, a + byield a

使用 list(fibonacci(10)) 便输出 [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55] 。

二、创建素数列表

此步方法比较多，大家可以自己发挥，最后使用 primes(20) 要能输出小于 20 20 20 的全体素数 [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19] 。本文中至少要求我们能快速生成 10000 10000 10000 以内的素数即可，这是容易实现的，代码不再展示。

三、搜索周期数列的循环节

3.1 斐波拉契数列模 p p p 的周期

关于一般周期数列循环节的讨论，原本是比较麻烦的，但由于斐波拉契数列模素数 p p p 的周期很有规律，因此可以简单进行编程处理。

首先解释一下循环节的含义，循环节是指周期数列里一个最小正周期里的子数列。比如周期数列 [1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, …] 里的循环节为 [1, 2, 3] 。

周期数列的周期往往是指该数列循环节的长度，比如上面的周期数列，其周期为 3 3 3 。

斐波拉契数列模素数 p p p 之后形成的新的数列是一个周期数列，我们对于该周期数列的循环节和周期都是十分感兴趣的。

在此，我们给出一个重要结论：

定理 \; 设 { F n } \{ F_n \} {Fn} 为斐波拉契数列， p p p 为大于 5 5 5 的素数，数列 F \mathscr{F} F 为斐波拉契数列 { F n } \{ F_n \} {Fn} 模素数 p p p 后的新数列，则当 p = 1 , 4 m o d 5 p = 1, 4 \mod 5 p=1,4mod5 时， F \mathscr{F} F 的周期为 p − 1 p-1 p−1 或 p − 1 p-1 p−1 的因子；当 p = 2 , 3 m o d 5 p = 2, 3 \mod 5 p=2,3mod5 时， F \mathscr{F} F 的周期为 2 p + 2 2p+2 2p+2 或 2 p + 2 2p+2 2p+2 的因子。

上述定理的证明详见论文 The Period of the Fibonacci Sequence Modulo j 中的定理5和定理6。

上述定理告述我们，斐波拉契数列模 p p p 的周期最多为 2 p + 2 2p+2 2p+2 。因此对于模 10000 10000 10000 以内的素数，最大的一个素数为 9973 9973 9973，其周期最多为 19948 19948 19948 。算法仅要求两个周期的匹配即可，故需要至少前 19948 ⋅ 2 = 39896 19948 \cdot 2 = 39896 19948⋅2=39896 个斐波拉契数。本文我们取前 40000 40000 40000 个斐波拉契数，让他们皆模 p p p 产生周期数列 F \mathscr{F} F 。

3.2 循环节的搜寻代码

我们按照上述要求，编写循环节搜寻的 Python 代码：

lstt = [7,1,4,2,8,5,0,7,1,4,2,8,5,0,7,1,4,2]
t = len(lstt)//2
s = 0for k in range(2, t+1):if lstt[0:k]==lstt[k:2*k]:print(lstt[0:k])print(f'循环节长度为：{len(lstt[0:k])}')print(f'不同元素个数为：{len(set(lstt[0:k]))}', '\n')s +=1break

输出结果如下：

[7, 1, 4, 2, 8, 5, 0]
循环节长度为：7
不同元素个数为：7

3.3 完整实现斐波拉契数列模 p p p 循环节

a = primes(10000)
b = list(fibonacci(40000))s = 0
u = 0
r = 0
lst_1 = []
lst_2 = []for i in a:lst = []for j in b:lst.append(j % i)# 计算数列中的循环节t = len(lst)//2for k in range(2, t+1):if lst[0:k]==lst[k:2*k]:print(lst[0:k])print(f'循环节长度为：{len(lst[0:k])}')print(f'p={i} 时循环节的不同元素个数为：{len(set(lst[0:k]))}')if len(lst[0:k])==2*i+2:print(f'最小正周期等于 2p+2', '\n')lst_1.append(i)u +=1elif len(lst[0:k])==i-1:print(f'最小正周期等于 p-1', '\n')lst_2.append(i)r +=1else:print('\n')s +=1breakprint(f'一共有 {s} 个循环节被输出')
print(f'一共有 {len(a)} 个素数被讨论')
print(f'一共有 {u} 个模数 p 满足最小正周期等于 2p+2')
print(f'满足最小正周期等于 2p+2 的 p 为：{lst_1}')
print(f'一共有 {r} 个模数 p 满足最小正周期等于 p-1')
print(f'满足最小正周期等于 p-1 的 p 为：{lst_2}')
print(f'满足最小正周期等于 2p+2 或 p-1 的占比为：{(u+r)/s}')

我们只挑部分输出如下：

一共有 1229 个素数被讨论
一共有 487 个模数 p 满足最小正周期等于 2p+2
一共有 322 个模数 p 满足最小正周期等于 p-1
满足最小正周期等于 2p+2 或 p-1 的占比为：0.6582587469487388

上述结果表明，还有 420 420 420 个模数 p p p 满足周期既不等于 p − 1 p-1 p−1 又不等于 2 p + 2 2p+2 2p+2 ，而是它们的某个真因子。

在所有模数里面， p = 9349 p=9349 p=9349 是最特殊的一个了，这时斐波拉契数列模 9349 9349 9349 的周期数列的循环节为

[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 1597, 8362, 610, 8972, 233, 9205, 89, 9294, 34, 9328, 13, 9341, 5, 9346, 2, 9348, 1, 0] ，

周期仅为 38 38 38 ，在上述周期里只有 28 28 28 个不同的元素，这是令人十分吃惊的！可以说， 9349 9349 9349 是 10000 10000 10000 以内，斐波拉契数列的幸运数字。

四、面向未来的问题

现在我们在此总结出如下五个问题：

问题1 \; 若将范围扩大到模 1 , 000 , 000 1,000,000 1,000,000 以内的素数，那么一共有多少个模数 p p p 满足周期等于 2 p + 2 2p+2 2p+2 ？又有多少个模数 p p p 满足周期等于 p − 1 p-1 p−1 ？此时满足周期等于 2 p + 2 2p+2 2p+2 或 p − 1 p-1 p−1 的占比为多少？

问题2 \; 若再将范围扩大到模 100 , 000 , 000 100,000,000 100,000,000 以内的素数，那么一共有多少个模数 p p p 满足周期等于 2 p + 2 2p+2 2p+2 ？又有多少个模数 p p p 满足周期等于 p − 1 p-1 p−1 ？此时满足周期等于 2 p + 2 2p+2 2p+2 或 p − 1 p-1 p−1 的占比为多少？

问题3 \; 考虑模小于 N N N 的一切素数，记 C 1 ( N ) C_1(N) C1(N) 为满足斐波拉契数列模 p p p 的周期等于 2 p + 2 2p+2 2p+2 的素数 p p p 的个数， C 2 ( N ) C_2(N) C2(N) 为满足模 p p p 的周期等于 p − 1 p-1 p−1 的素数 p p p 的个数，则下述极限是否存在？若存在，又为何值？ lim ⁡ N → + ∞ C 1 ( N ) + C 2 ( N ) π ( N ) \lim_{N \to +\infty} \frac{C_1(N)+C_2(N)}{\pi(N)} N→+∞limπ(N)C1(N)+C2(N) 其中 π ( N ) \pi(N) π(N) 表示小于 N N N 的素数个数。

问题4 \; 当范围扩大到模 1 , 000 , 000 1,000,000 1,000,000 以内的素数时，对应斐波拉契数列的幸运数字是多少？如果范围进一步扩大到 100 , 000 , 000 100,000,000 100,000,000 时，对应斐波拉契数列的幸运数字又是多少？

问题5 \; 如果范围最后扩大到模全体素数时，是否存在斐波拉契数列的幸运数字？若存在，该是什么样的素数呢 ?

以上问题 1、2、4 只需要计算机来完成，问题 3、5 需要严格的数学论证。如果你对计算机感兴趣，那么就去完成问题 1、2、4 ；如果你对数论感兴趣，那么就去尝试完成问题 3、5 吧！

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