正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT1983

题目大意

给出nnn个数对(ai,bi)(a_i,b_i)(ai,bi)

求
∑i=1n∑j=i+1n(ai+bi+aj+bjai+aj)\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n\binom{a_i+b_i+a_j+b_j}{a_i+a_j}i=1∑nj=i+1∑n(ai+ajai+bi+aj+bj)

1≤n≤2×105,1≤ai,bi≤20001\leq n\leq 2\times 10^5,1\leq a_i,b_i\leq 20001≤n≤2×105,1≤ai,bi≤2000

解题思路

啊遇到这种题目直接上组合意义组合意义天地灭\color{white}\text{组合意义天地灭}组合意义天地灭

然后发现ai,bia_{i},b_iai,bi很小。上面那个组合数可以变成横着走ai+aja_i+a_jai+aj步，竖着走bi+bjb_i+b_jbi+bj步的方案。

之后理解为从(−ai,−bi)(-a_i,-b_i)(−ai,−bi)走到(aj,bj)(a_j,b_j)(aj,bj)就可以分离i,ji,ji,j了。

因为很小，直接多起点走一次求和就好了，要减去重复的部分。

时间复杂度O(n+max{ai}×max{bi})O(n+max\{a_i\}\times max\{b_i\})O(n+max{ai}×max{bi})

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+10,M=4500,P=1e9+7;
ll n,a[N],b[N],f[M][M],fac[N],inv[N],ans;
ll C(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;}
signed main()
{scanf("%lld",&n);inv[1]=1;for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;inv[0]=fac[0]=1;for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;for(ll i=1;i<=n;i++){scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]);f[2001-a[i]][2001-b[i]]++;}for(ll i=1;i<=4002;i++)for(ll j=1;j<=4002;j++)(f[i][j]+=f[i-1][j]+f[i][j-1])%=P;for(ll i=1;i<=n;i++){(ans+=f[2001+a[i]][2001+b[i]]%P)%=P;(ans-=C(2*a[i]+2*b[i],2*a[i]))%=P;}printf("%lld\n",(ans+P)*inv[2]%P);return 0;
}

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