概率论基础（一）：条件均值与全期望公式

【条件均值与全期望公式】
假定两个连续的随机变量X,YX,YX,Y，它们的联合概率密度为
pX,Y(x,y)=pX(x)pY∣X(y∣x)=pY(y)pX∣Y(x∣y)p_{\rm X,Y}(x,y)=p_{\rm X}(x)p_{\rm Y|X}(y|x)=p_{\rm Y}(y)p_{\rm X|Y}(x|y)pX,Y(x,y)=pX(x)pY∣X(y∣x)=pY(y)pX∣Y(x∣y)则有条件均值E[X∣Y=y]=E[X∣y]{\mathbb E}[X|Y=y]={\mathbb E}[X|y]E[X∣Y=y]=E[X∣y]为
E[X∣y]=∫−∞∞xpX∣Y(x∣y)dx=∫−∞∞xpX,Y(x,y)pY(y)dx.{\mathbb E}[X|y]=\int_{-\infty}^{\infty}xp_{\rm X|Y}(x|y)dx=\int_{-\infty}^{\infty}x\frac{p_{\rm X,Y}(x,y)}{p_{\rm Y}(y)}dx.E[X∣y]=∫−∞∞xpX∣Y(x∣y)dx=∫−∞∞xpY(y)pX,Y(x,y)dx.进一步我们来推导全期望数学公式
EY{EX∣Y[X∣Y]}=EX[x].{\mathbb E}_{\rm Y}\{{\mathbb E}_{\rm X|Y}[X|Y]\}={\mathbb E}_{\rm X}[x]. EY{EX∣Y[X∣Y]}=EX[x].证明如下：
EY{EX∣Y[X∣Y]}=∫−∞∞{EX∣Y[X∣y]}pY(y)dy{\mathbb E}_{\rm Y}\{{\mathbb E}_{\rm X|Y}[X|Y]\}=\int_{-\infty}^{\infty}\{{\mathbb E}_{\rm X|Y}[X|y]\}p_{\rm Y}(y)dy EY{EX∣Y[X∣Y]}=∫−∞∞{EX∣Y[X∣y]}pY(y)dy=∫−∞∞[∫−∞∞xpX∣Y(x∣y)dx]pY(y)dy=\int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty}xp_{\rm X|Y}(x|y)dx]p_{\rm Y}(y)dy=∫−∞∞[∫−∞∞xpX∣Y(x∣y)dx]pY(y)dy=∫−∞∞x∫−∞∞pX∣Y(x∣y)pY(y)dydx=\int_{-\infty}^{\infty}x\int_{-\infty}^{\infty}p_{\rm X|Y}(x|y)p_{\rm Y}(y)dydx=∫−∞∞x∫−∞∞pX∣Y(x∣y)pY(y)dydx=∫−∞∞x[∫−∞∞pX,Y(x,y)dy]dx=\int_{-\infty}^{\infty}x[\int_{-\infty}^{\infty}p_{\rm X,Y}(x,y)dy]dx=∫−∞∞x[∫−∞∞pX,Y(x,y)dy]dx=∫−∞∞xpX(x)dx=EX(x)=\int_{-\infty}^{\infty}xp_{\rm X}(x)dx={\mathbb E}_{\rm X}(x)=∫−∞∞xpX(x)dx=EX(x)

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