建造水库是一个高风险的问题。如果计算错误，成千上万的人可能会失去他们的家园。在20世纪中期，英国水文学家埃德温-哈罗德-赫斯特在解决这类问题方面取得了重大突破。他开发了后来被称为Hurst指数的东西，这是一个衡量时间序列中自动相关的指标。虽然它是为了估计河流中的水量而开发，但正如我们所期望的那样，对于涉及时间序列的数学计算，Hurst指数在金融市场研究中得到了有趣的应用。

下面将展示如何计算Hurst指数，并使用它来评估标准普尔500指数、比特币和美元/瑞士法郎交易对的特性，看看我们是否能理解这些金融序列的交易趋势。

什么是Hurst指数？

Hurst指数可以用来确定一个时间序列是否倾向于向单一方向移动（H>0.5），振荡（H<0.5），或随机（H=0.5）。

虽然赫斯特发现这种关系在各种自然现象中很有用，如洪水、河流排放和树木年轮，但我们也可以用它来将一个市场归类为趋势性或均值回归性。如果我们知道一个市场倾向于以某种方式行事，我们可以尝试用适当的均值回归或趋势跟踪策略来捕捉这一点，或者在你的算法交易系统中使用它作为一个过滤器。

如何计算Hurst指数？计算Hurst指数需要估计多个不同时间段的R/S统计量，然后将其与各时间段绘制成对数图，并找出斜率。这条线的斜率就是Hurst指数 —— H。

有多种方法来估计Hurst指数。就我所知，重新标定的范围分析方法是最古老的，但使用去趋势波动分析（DFA）是最常见的。我们将使用后者，因为尽管它听起来很复杂，但它只需要3-4行代码就能运行，而且比我的重标范围分析实现快一个数量级。这两种方法都是可行的，但它们略有不同。

假设我们有一个价格序列，我们称之为x。然后我们可以看一下x在不同时间t的差异，并取其差值。这个时间差将被称为lag（滞后）。我们想得到这些滞后差值的标准差的关系。

我们可以按以下步骤写出我们的计算结果。

1、选择一个滞后期的范围（如2到100）。

2、计算x中所有点的滞后差值。

3、计算每个lag的标准差。

4、将标准差的对数与lag的对数作图，以估计H。

数学上的公式为：

将所有的数据插入最后一个方程，我们可以找到最佳拟合线，我们就得到了H的值。让我们来看看如何用Python来做这件事!

用Python中计算Hurst指数

首先导入几个包：

import numpy as np
import matplotib.pyplot as plt

然后定义我们的 hurst()函数。

def hurst(price, min_lag=2, max_lag=100):lags = np.arange(min_lag, max_lag + 1)tau = [np.std(np.subtract(price[lag:], price[:-lag])) for lag in lags]m = np.polyfit(np.log10(lags), np.log10(tau), 1)return m, lags, tau

我们可以通过使用一个计算所有滞后差值的标准差的列表来理解，将所有的东西整合在几行紧凑的线条中。

接下来，让我们在一些我们知道答案的序列上测试这个函数。这将有助于确保我们的计算是正确的。

N = 10000
rand = np.cumsum(np.random.randn(N) + 0.01)
mr = np.cumsum(np.sin(np.linspace(0, N/3*np.pi, N))/2 + 1)
tr = np.cumsum(np.arange(N)/N)
m_rand, lag_rand, rs_rand = hurst(rand)
m_mr, lag_mr, rs_mr = hurst(mr)
m_tr, lag_tr, rs_tr = hurst(tr)
print(f"Hurst(Random):\t{m_rand[0]:.3f}")
print(f"Hurst(MR):\t{m_mr[0]:.3f}")
print(f"Hurst(TR):\t{m_tr[0]:.3f}")

Hurst(Random):    0.499
Hurst(MR):        0.075
Hurst(TR):        0.997

此外，我们可以将这些系列与我们的lag值和统计数据的对数图一起绘制。

左栏中的图是对数图。你可以看到我们试图在Y轴上拟合标准差统计数字。对于随机和趋势的时间序列，它们匹配得很好。均值回归的是一个快速振荡的正弦波——完全不一致，但斜率仍然是正的，并且小于0.5。在你的生活中，你永远不会看到这样的金融时间序列，但它应该给你信心，我们的函数是有效的!

金融时间序列的Hurst指数

将Hurst应用于金融数据也同样简单明了。我们可以把它应用于一些常见的时间序列，看看我们得到什么。

我们将使用美元/瑞士法郎交易对、BTC和SPY来感受一下这些数据。

用yfinance软件包抓取数据。

import pandas as pd
import yfinance as yf
tickers = ['CHF=X', 'BTC-USD', 'SPY', 'GLD', 'USO']
start = '2010-01-01'
end = '2021-12-31'
yfObj = yf.Tickers(tickers)
df = yfObj.history(start=start, end=end)
df.drop(['Stock Splits', 'Dividends', 'Volume', 'Open', 'High', 'Low'], axis=1, inplace=True)
df.columns = df.columns.swaplevel()

我们在这里只对收盘价感兴趣，所以我们可以放弃所有其他的列，并在这些列上运行swaplevel()，这样我们就可以按股票代码进行索引。

接下来，我们需要通过Hurst()函数运行每个时间序列，以获得指数和相关值。

vals = {c[0]: hurst(df[c].dropna().values) for c in df.columns}

一旦完成，我有一个辅助函数来绘制结果。

def plotHurst(m, x, y, series, name):fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(15, 6))ax[0].plot(np.log10(x), m[0] * np.log10(x) + m[1]) ax[0].scatter(np.log10(x), np.log10(y), c=colors[1])ax[0].set_title(f"{name} (H = {m[0]:.3f})")ax[0].set_xlabel(r"log($\tau$)")ax[0].set_ylabel(r"log($\sigma_\tau$)")ax[1].plot(series)ax[1].set_title(f"{name}")ax[1].set_ylabel("Price ($)")ax[1].set_xlabel("Date")return fig, ax

这使得绘制我们的数值变得更加容易。如果我们想绘制所有的数值，我们可以循环浏览我们的vals字典，并调用plt.show()，如下面的代码所示。

for k, v in vals.items():fig, ax = plotHurst(*v, df[k], k)plt.show()

让我们依次看一下结果，看看我们是否能从Hurst指数告诉我们的东西中得到一些启示。

美元/瑞士法郎交易对均值回归

我们将从Hurst指标中看到的最强烈的信号开始，即美元/瑞士法郎交叉。

大多数交易员都有一种直觉，即货币对总体上是均值回归的，而对于强势货币之间的货币对，如美元和瑞士法郎，它尤其明显。

这正是我们在这里看到的情况。

不过，值得注意的是，较短的时间框架与我们在这里看到的较长的时间框架有一定的偏差。在最短的时间范围内，已实现波动率的期限结构（即蓝点所在的位置）低于红线。

出于好奇，我绘制了各种最大lag值的Hurst指数，看看这个系列是否曾经成为一个趋势系列。

并非如此。

它确实越长越平均，表明美元和瑞士法郎之间有一个相当稳定的长期关系。这是每日数据，所以它可以提供一些指导，作为你应该交易的时间框架。考虑到它在60天以上会变得更加均值化，也许在这个时间范围内（或更长）运行的均值化策略将是最有效的。

比特币是一种动量游戏

比特币暴涨暴跌的势头恰恰相反。

Hurst指数给出了一个相当明确的信号：这是一个动量交易，而已实现的波动率期限结构显示出令人惊讶的少数偏差。

但有趣的是，2021年的情况。

在比特币2020年的巨大牛市之后，它在2021年度过了一个随机/平均回归阶段。请注意，这不是那么多的数据，但有趣的是，不知道比特币是否已经进入了一个趋势变化。在2017年的大牛市之后，它在2018-2019年进入了一个类似的趋势，它有两年时间在进行均值回归，直到2020年起飞。

到目前为止，2022年已经显示出类似的模式。它能在今年剩下的时间里持续下去吗？

标准普尔500指数的均值回归

这个对我来说是最大的惊喜。Hurst指数显示，标普500指数是一个平均回归的时间序列。

看看它右边的价格图，它看起来有一个强大的上升趋势。

我们的算法揭示了我们眼睛看不到的东西。

我们可以对标准普尔500指数进行与美元/瑞士法郎汇率相同的分析，看看在不同的滞后期是否有任何拐点或赫斯特指数的变化。

当我们这样做时，我们会得到下面的图表。

在这幅图中，H值随着滞后期的变化而明显变化。在中短期内，该系列是平均回归的，但在较长的时间范围内，它变得有强烈的趋势性。在非常长的时间内（超过400天），它又回到了强烈的均值回归。

让我们看看这在不同的时间范围内是否成立。

我们将回到过去，从1993年开始到2021年，获取SPY的数据。这将产生7,284个交易日。此外，我们将把它分为四个时间段，并在这四个时间段中的每一个时间段运行相同的分析，以查看SPY的行为是否在较小的间隔内发生变化。

这就产生了下面的图表。

这表明，标准普尔500指数在不同的lag（滞后）期会经历更多的趋势和更多的均值回归时期。例如，比较2000-2007年期间。在这里，我们从互联网的繁荣和萧条到全球金融危机的高峰，几乎所有的滞后期都是趋势的。从那时起，在200-300区间内，趋势的持续程度较低，但其他地方的均值回归更为普遍。

值得注意的是，在我们看的每一个时间框架内，该系列似乎都在200-300天范围内有趋势。这似乎表明，标普500指数在这些时间范围内表现出强烈的趋势行为，可以通过趋势跟踪模型加以利用，而均值回归模型在较短的时间范围内会更有价值。

这种对200-300天范围内趋势的观察似乎与著名的海龟交易员杰里-帕克的轶事观察相吻合，即现代趋势跟踪在这些200天以上的时间范围内效果最好。

总结

一个市场是倾向于趋势、均值回归，还是随机的，这对交易者来说是有价值的信息。虽然赫斯特指数本身并不是一个入场信号，但它可以作为一个系统的过滤器。考虑到市场制度可能会随着时间的推移而发生变化，有利于一种或另一种方法，用Hurst过滤器覆盖你的模型，可以帮助防止你的算法在均值回归的市场中买入突破，或在市场走向新高时在回撤之前做空。

从本质上讲，它可以帮助你的算法与它所交易的市场相匹配。当然，这需要大量的回测。