POJ 3709 K-Anonymous Sequence 斜率DP

K-Anonymous Sequence POJ - 3709

给一个不降的序列，以及一个数 kkk，对这个序列进行操作，允许对某些数减去一定的值，要求操作之后的序列的每种取值的个数至少为 kkk，定义花费为修改前后每个数的绝对值的和，求最小花费。

令 dp[i]dp[i]dp[i] 表示前 iii 个数的最小花费，则转移方程为：

dp[i]=min⁡{dp[j]+s[i]−s[j]−a[j+1]∗(i−j)}dp[i]=\min\{dp[j]+s[i]-s[j]-a[j+1]*(i-j)\} dp[i]=min{dp[j]+s[i]−s[j]−a[j+1]∗(i−j)}

其中 a[i]a[i]a[i] 为序列中第 iii 个元素的值，s[i]s[i]s[i] 为前缀和，这个式子的意思是前 iii 个数的最小花费为前 jjj 个数的最小花费加上第 j+1j+1j+1 个数到第 iii 个数都改成 a[j+1]a[j+1]a[j+1] 的花费。

考虑斜率DP，设 k<jk<jk<j ，且 jjj 优于 kkk，则有：

dp[j]+s[i]−s[j]−a[j+1]∗(i−j)<dp[k]+s[i]−s[k]−a[k+1]∗(i−k)(dp[j]−s[j]+ja[j+1])−(dp[k]−s[k]+ka[k+1])<i(a[j+1]−a[k+1])yj−ykxj−xk<i\begin{aligned} dp[j]+s[i]-s[j]-a[j+1]*(i-j)&<dp[k]+s[i]-s[k]-a[k+1]*(i-k)\\ (dp[j]-s[j]+ja[j+1])-(dp[k]-s[k]+ka[k+1])&<i(a[j+1]-a[k+1])\\ \frac{y_j-y_k}{x_j-x_k}&<i \end{aligned} dp[j]+s[i]−s[j]−a[j+1]∗(i−j)(dp[j]−s[j]+ja[j+1])−(dp[k]−s[k]+ka[k+1])xj−xkyj−yk<dp[k]+s[i]−s[k]−a[k+1]∗(i−k)<i(a[j+1]−a[k+1])<i

其中 yj=dp[j]−s[j]+ja[j+1],xj=a[j+1]y_j=dp[j]-s[j]+ja[j+1],x_j=a[j+1]yj=dp[j]−s[j]+ja[j+1],xj=a[j+1]。

代码如下（注意在队列尾进行判断的时候此处必须是 ≤\le≤）：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
//#define WINE
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAXN 500100
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,k,T,q[MAXN],h,t;
ll s[MAXN],dp[MAXN],a[MAXN];
ll up(int j,int k){return dp[j]-s[j]+j*a[j+1]-(dp[k]-s[k]+k*a[k+1]);
}
ll down(int j,int k){return a[j+1]-a[k+1];
}
ll getDP(int k,int i){return dp[k]+s[i]-s[k]-a[k+1]*(i-k);
}
int main(){#ifdef WINEfreopen("data.in","r",stdin);
#endifscanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d%d",&n,&k);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&a[i]);s[i]=s[i-1]+a[i];}h=t=0;q[t++]=0;for(int i=k;i<=n;i++){while(h+1<t&&up(q[h+1],q[h])<i*down(q[h+1],q[h]))h++;dp[i]=getDP(q[h],i);int j=i-k+1;if(j<k)continue;while(h+1<t&&up(j,q[t-1])*down(q[t-1],q[t-2])<=up(q[t-1],q[t-2])*down(j,q[t-1]))t--;q[t++]=j;}printf("%lld\n",dp[n]);}return 0;
}

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