bzoj 1010: [HNOI2008]玩具装箱toy（斜率dp）

1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

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Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　输出最小费用

Sample Input

5 4

Sample Output

以为只是普通的dp，写完之后才发现数据范围

只好。。斜率优化

一般递推式：dp[i] = min(dp[i], dp[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j-1-c)²) (0<=j<=i-1)

但这样会超时

令sum[i] = sum[i]+i, c = 1+c

dp[i] = min(dp[j], dp[j]+(sum[i]-sum[j]-c)²)

假设在i时，k决策优于j决策

那么dp[k]+(sum[i]-sum[k]-c)²<=dp[j]+(sum[i]-sum[j]-c)²

可以证出对于i状态后面的所有状态t，k决策都一定优于j决策，这时j决策就毫无意义了

因为dp[k]+(sum[i]-sum[k]-c)²<=dp[j]+(sum[i]-sum[j]-c)²

移项求斜率：Slop(k, j) == (dp[k]-dp[j]+(sum[k]-c)²-(sum[j]-c)²) / (2*sum[k]-2*sum[j])<= sum[i];

因为sum[i]单调递增，所以

如果Slop(k, j)<=sum[i]，则说明k点比j点更优，弹出j点，用这种方法每次检查队尾

如果Slop(k, j)<=Slop(p, k)，则说明p点做开头会比k点做开头更优，弹出k点，用这种方法每次检查队头

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
LL c, a[50005], sum[50005], q[50005], dp[50005];
double Slop(LL k, LL j)
{return (dp[k]-dp[j]+(sum[k]+c)*(sum[k]+c)-(sum[j]+c)*(sum[j]+c))/(2.0*sum[k]-2.0*sum[j]);
}
int main(void)
{LL n, i, front, back;while(scanf("%lld%lld", &n, &c)!=EOF){c += 1;for(i=1;i<=n;i++){scanf("%lld", &a[i]);sum[i] =  sum[i-1]+a[i]+1;}front = back = 1, q[1] = 0;for(i=1;i<=n;i++){while(front<back && Slop(q[front+1], q[front])<=sum[i])front += 1;dp[i] = dp[q[front]]+(sum[i]-sum[q[front]]-c)*(sum[i]-sum[q[front]]-c);while(front<back && Slop(q[back], i)<Slop(q[back-1], q[back]))back -= 1;q[++back] = i;}printf("%lld\n", dp[n]);}return 0;
}