周期信号的博里叶级数表示(连续时间)

注：本博客是基于奥本海姆的《信号与系统》第二版编写，主要是为了自己考研，准备专业课。

转载于：(https://blog.csdn.net/Explorer_day/article/details/80078287)

一、线性时不变系统对复指数信号的响应

前言：

1、在研究线性时不变系统时，将信号表示成基本信号的线性组合是很有利的，但这些基本信号应该具有以下两个性质：
1）由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号；

2）线性时不变系统对每一个基本信号的响应都是十分简单的，以使系统对任意输入信号的响应有一个很方便的表达式；

博里叶分析的很多重要价值都来自这一点，即连续和离散时间复数信号集都具有以上两个性质，即连续时间的e^st和离散时间的zⁿ信号，其中s和z都是复数。

2、在研究线性时不变系统时，复指数信号的重要性在于这样一个事实：即一个线性时不变系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的只是在幅度上的变化；

其中H(s)或H(s)是一个复振幅因子，一般来说是复变量s或z的函数。

3、一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则称该信号为系统的特征函数，幅度因子H(s/z)称为系统的特征值。

4、复指数是连续时间线性时不变系统的特征函数，复指数序列也是离散时间线性时不变系统的特征函数。

5、将信号表示成复指数的线性组合，就会导致一个线性时不变系统响应的方便表达式；

推导：

输入x(t)—>输出y(t)关系：
① 对于连续时间线性时不变系统的输入表示成复指数的线性组合，即
那么输出一定是

② 对于离散时间线性时不变系统的输入表示成复指数和线性组合，即

那么输出一定是
换句话说，对于连续时间和离散时间来说，如果一个线性时不变系统的输入能够表示成复指数的线性组合，那么系统的输出也能够表示成相同复指数信号的线性组合；并且输出表达式中的每一个系数可以用输入中的相应的系数ak分别于特征函数e^st、zⁿ有关的系统特征值H(s)或H(z)相乘来求得。

二、连续时间周期信号的博里叶级数表示

一）成谐波关系的复指数信号的线性组合
1、周期复指数信号
此信号是周期的，而且基波频率为w0，基波周期T=2π/w0。与上式成谐波关系的复指数信号集就是

这些信号中的每一个都有一个基波频率，它是w0的倍数。因此每一个信号对周期T来说都是周期的。一个有成谐波关系的复指数线性组合形成的信号

对T来说也是周期的。在上式中，k0=常数，一般来说，k=+N与k= -N的分量称为第N次谐波分量。

一个周期信号表示成上式，就称为傅里叶级数表示

2、博里叶级数的另外两种表示

①若将ak以极坐标形式给出，即
那么

②若将ak以笛卡尔坐标形式表示，即(其中Bk、Ck为实数)

那么

二）连续时间周期信号博里叶级数表示的确定

1、傅里叶级数中系数的推导过程
见教材P119
2、如果x(t)有一个傅里叶级数表示式，即x(t)能表示成一组成谐波关系的复指数信号的线性组合，那么傅里叶级数中的系数就可由下式确定

其中分别给出了基波频率w0和基波周期T表示的傅里叶级数的等效表示式。
【式(3.38)称为综合公式，式(3.39)称为分析公式，系数{ak}称为x(t)的傅里叶级数或频谱系数。】

这些复指数系数是对信号x(t)中的每一个谐波分量大小的度量。

系数a0就是x(t)中的直流或常数分量，由式(3.39)以k=0带入可得
这就是x(t)在一个周期内的平均值。(往往用来计算a0)

三、傅里叶级数的收敛

1、大部分周期性信号不存在任何收敛上的困难。

2、平方可积条件：

3、狄里赫利条件：

1）条件1：在任何周期内，x(t)必须绝对可积，即
与平方可积条件相同，保证每一系数ak为有限值

反例：(a)

2）条件2：在任意区间内，x(t)具有有限个起伏变化；也就是说，在任何单个周期内，x(t)的最大值和最小值的数目有限。【即有限个极值点】
反例：(b)

3）条件3：在x(t)的任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在这些不连续点上，函数是有限值。
反例：（c）

3、对于一个不存在任何间断点的周期信号而言，傅里叶级数收敛，并且在每一点上该级数都等于原来的信号x(t)。对于在一个周期内存在有限数目不连续点的周期信号而言，除去那些不连续点外，其余所有点上傅里叶级数都等于原来的x(t)；而在那些孤立的不连续点上，傅里叶级数收敛于不连续点处的值的平均值。

4、吉伯斯现象

一个不连续信号x(t)的博里叶级数的截断近似xN(t)，一般来说，在接近不连续点处将呈现高频起伏和超量。而且，若在实际情况下利用这样一个近似式，就应该选择足够大的N，以保证这些起伏拥有的总能量可以忽略。

四、连续时间博里叶级数性质

假设x(t)是一个周期信号，周期为T，即波频率w0=2π/T。那么，若x(t)的傅里叶级数系数记为ak，则用

来表示一个周期信号及其傅里叶级数系数的一对关系。

1）线性性质

令x(t)和y(t)为两个周期信号，周期为T，它们的傅里叶系数分别为ak和bk，即

x(t)和y(t)的线性组合**z(t)=Ax(t)+By(t)**的傅里叶级数系数Ck由x(t)和y(t)的傅里叶级数系数的同一线性组合给出，即

2）时移性质
若
那么

这个性质的一个结果就是：当一个周期信号在时间上移位时，他的傅里叶级数系数的模保持不变，即时|ak|=|bk|

3）时间反转
若

那么

换句话说，施加于连续时间信号上的时间反转会导致其对应的傅里叶级数系数序列的时间反转。时间反转的一种结果是：若x(t)为偶函数，则其傅里叶级数系数叶为偶，即a-k=ak，若为奇函数，则其傅里叶级数系数也为奇，即a-k=-ak。

4）时域尺度变换

若x(t)具有下式的表示
那么

就是x(αt)的傅里叶级数表示。要强调的是，虽然傅里叶系数没有改变，但由于基波频率变化了，傅里叶级数表示却改变了。
5）相乘

若

那么x(t)y(t)对应的傅里叶系数为ak*bk，即

6）共轭及共轭对称

将一个周期信号x(t)取它的复数共轭，在它的傅里叶级数系数上就会有复数共轭并进行时间反转的结果，即若

那么

由上式可以看出，由于x(t)=x*(t)，傅里叶级数系数就一定是共轭对称的，即

同时，若x(t)为实偶函数，那么由ak=a-k，然而，根据上式又有ak^*=a-k，所以ak=ak^*。这就是说，若x(t)为实偶函数，那么它的傅里叶级数系数也为实偶函数。类似地，若x(t)为实奇函数，那么它的傅里叶级数系数为纯虚奇函数。由此，例如x(t)为实奇函数，则a0=0。

7）连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理

连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理是

其中ak是x(t)的傅里叶系数，T是该信号的周期。
上式的左边是周期信号x(t)在一个周期内的平均功率（也就是单位时间内的能量），而同时有

所以|ak|²就是x(t)中第k次谐波的平均功率。故帕斯瓦尔定理所说的是：一个周期信号的总平均功率等于它的全部谐波分量的平均功率之和。

8）连续时间博里叶级数性质列表

典型例题：

例题一：

例题二：

例题三：

例题四：

例题五：

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