bzoj4816 Sdoi2017 数字表格

题面：bzoj4816

题意：求∏i=1n∏j=1mf[gcd(i,j)]\prod _{i=1} ^n \prod _{j=1} ^m f[gcd (i, j)]∏i=1n∏j=1mf[gcd(i,j)]，其中f[i]f[i]f[i]表示第iii项斐波那契数列。膜109+710^9+7109+7

题解：

ans=∏i=1n∏j=1mf[gcd(i,j)]=∏d=1n∏i=1n∏j=1m[gcd(i,j)=d]f[d]=∏d=1nf[d]∑i=1nd∑j=1md[gcd(i,j)=1]\begin {aligned} ans & = \prod _{i=1} ^n \prod _{j = 1} ^m f[gcd (i, j)] \\ &= \prod _{d = 1} ^n \prod _{i=1} ^n \prod _{j=1} ^m [gcd (i, j) = d] f[d] \\ & = \prod _{d = 1} ^n f[d] ^ {\sum _{i=1} ^{\frac n d} \sum _{j = 1} ^{\frac m d} [gcd (i, j) = 1]} \end {aligned}ans=i=1∏nj=1∏mf[gcd(i,j)]=d=1∏ni=1∏nj=1∏m[gcd(i,j)=d]f[d]=d=1∏nf[d]∑i=1dn∑j=1dm[gcd(i,j)=1]

指数上的那部分：∑i=1nd∑j=1md[gcd(i,j)=1]=∑i=1ndμ(i)⌊nid⌋⌊mid⌋\sum _{i = 1} ^{\frac n d} \sum _{j = 1} ^{\frac m d} [gcd (i, j) = 1] = \sum _{i = 1} ^{\frac n d} \mu (i) \lfloor \frac n {id} \rfloor \lfloor \frac m {id} \rfloor∑i=1dn∑j=1dm[gcd(i,j)=1]=∑i=1dnμ(i)⌊idn⌋⌊idm⌋

令T=idT = idT=id

∑T=1n⌊nT⌋⌊mT⌋∑d∣Tμ(Td)\sum _{T = 1} ^n \lfloor \frac n T \rfloor \lfloor \frac m T \rfloor \sum _{d \mid T} \mu (\frac T d)∑T=1n⌊Tn⌋⌊Tm⌋∑d∣Tμ(dT)

代回得：

ans=∏T=1n∏d∣Tf[d]⌊nT⌋⌊mT⌋μ(Td)=∏T=1n(∏d∣Tf[d]μ(Td))⌊nT⌋⌊mT⌋\begin {aligned}ans & = \prod _{T = 1} ^n \prod _{d \mid T} f[d] ^{\lfloor \frac n T \rfloor \lfloor \frac m T \rfloor \mu (\frac T d)} \\ &= \prod _{T = 1} ^n (\prod _{d \mid T} f[d] ^{ \mu (\frac T d)}) ^{\lfloor \frac n T \rfloor \lfloor \frac m T \rfloor} \end {aligned}ans=T=1∏nd∣T∏f[d]⌊Tn⌋⌊Tm⌋μ(dT)=T=1∏n(d∣T∏f[d]μ(dT))⌊Tn⌋⌊Tm⌋

整体数论分块，对∏d∣Tf[d]μ(Td)\prod _{d \mid T} f[d] ^{ \mu (\frac T d)}∏d∣Tf[d]μ(dT)预处理：每个数计算它对它的倍数的贡献。

预处理复杂度：∑i=1nni≈nlogn\sum _{i=1} ^n \frac n i \approx nlogn∑i=1nin≈nlogn

同时预处理斐波那契数列的逆元；求⌊nT⌋⌊mT⌋\lfloor \frac n T \rfloor \lfloor \frac m T \rfloor⌊Tn⌋⌊Tm⌋次方时膜109+610^9+6109+6

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll ;
const int maxn = 1e6 + 10, mod = 1e9 + 7 ;
int mu[maxn], prime[maxn], tot ;
ll f[maxn], g[maxn], F[maxn] ;
bool vis[maxn] ;
ll power (ll x, int y) {ll res = 1 ;while (y) {if (y & 1) res = res * x % mod ;x = x * x % mod; y >>= 1 ;}return res ;
}
void init () {mu[1] = 1; f[1] = g[1] = F[0] = F[1] = 1 ;for (int i = 2; i < maxn; i ++) {f[i] = (f[i - 1] + f[i - 2]) % mod ;g[i] = power (f[i], mod - 2); F[i] = 1 ;if (!vis[i]) prime[++ tot] = i, mu[i] = -1 ;for (int j = 1; j <= tot && i * prime[j] < maxn; j ++) {vis[i * prime[j]] = 1 ;if (i % prime[j] == 0) {mu[i * prime[j]] = 0; break ;}mu[i * prime[j]] = -mu[i] ;}}for (int i = 1; i < maxn; i ++) {if (!mu[i]) continue ;for (int j = i; j < maxn; j += i)F[j] = F[j] * (mu[i] == 1 ? f[j / i] : g[j / i]) % mod ;}for (int i = 2; i < maxn; i ++) F[i] = F[i] * F[i - 1] % mod ;
}
int main() {init () ;int T ;cin >> T ;while (T --) {int n, m ;scanf("%d%d", &n, &m) ;if (n > m) swap (n, m) ;ll ans = 1 ;for (int i = 1, nxt = 0; i <= n; i = nxt + 1) {nxt = min (n / (n / i), m / (m / i)) ;ll t = F[nxt] * power (F[i - 1], mod - 2) % mod ;ans = ans * power (t, 1ll * (n / i) * (m / i) % (mod - 1)) % mod ;}printf("%lld\n", ans) ;}return 0 ;
}

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