【BZOJ4816】数字表格，反演+枚举约数

传送门
思路：
考场上没怎么卡常，只有60分，感觉自己宛如一个zz
先说一下60分做法
设n≤mn\leq m
随便化出来∏d=1nf(d)S(⌊nd⌋,⌊md⌋)\displaystyle\prod^n_{d=1}f(d)^{S(\lfloor \frac n d \rfloor,\lfloor \frac m d \rfloor)}
其中S(n,m)=∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)=1]=∑d=1nμ(d)⌊nd⌋⌊md⌋\displaystyle S(n,m)=\sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}[\gcd(i,j)=1]=\sum^n_{d=1}\mu(d)\lfloor \frac n d \rfloor\lfloor \frac m d \rfloor
O(T(n+m)34)O(T(n+m)^{\frac 3 4})，带有4倍的常数
常数十分优秀的话可以卡过去
正解的想法很像于神之怒加强版（我还做过。。。）
把S带进去

∏d=1nf(d)∑⌊nd⌋k=1μ(k)⌊ndk⌋⌊mdk⌋

\prod^n_{d=1}f(d)^{\sum^{\lfloor\frac n d\rfloor}_{k=1}\mu(k)\lfloor \frac n {dk} \rfloor \lfloor \frac m {dk} \rfloor}
如果我们把 dkdk相同的看做一起的话（也就是当做新的变量 xx），那么实际上就是一个枚举xx的约数的过程

∏x=1ng(x)⌊nx⌋⌊mx⌋

\prod^n_{x=1} g(x)^{\lfloor \frac n x\rfloor\lfloor \frac m x\rfloor}
其中 g(n)=∏d|nf(d)μ(nd)g(n)=\prod_{d|n}f(d)^{\mu(\frac n d)}
非常像狄利克雷卷积形式，但并不是，而且这也不是积性函数（显然）
所以用筛倍数的方法求得 g(n)g(n)，复杂度 O(nlnn)O(n \ln n)，同时还要处理 f(n)f(n)的逆元, g(n)g(n)的前缀积和逆元
处理询问时的复杂度是 O(T(n√+m−−√)logn)O(T(\sqrt n+\sqrt m)\log n)
处理逆元时可以 O(n)O(n)做

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define mo 1000000007
using namespace std;
int n,m;
const int lim=1000000;
int prime[lim/10+5],mu[lim+5];
int sf[lim+5],f[lim+5],invf[lim+5],sg[lim+5],g[lim+5],invg[lim+5];
bool vis[lim+5];
int qr(int x,int y)
{int t=1;for (;y;y>>=1,x=1LL*x*x%mo)if (y&1) t=1LL*t*x%mo;return t;
}
void init()
{mu[1]=1;for (int i=2;i<=lim;++i){if (!vis[i])prime[++prime[0]]=i,mu[i]=-1;for (int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=lim;++j){vis[i*prime[j]]=1;if (i%prime[j])mu[i*prime[j]]=-mu[i];else{mu[i*prime[j]]=0;break;}}}f[0]=0;sf[1]=1;f[1]=1;g[1]=1;sg[1]=1;invg[0]=invg[1]=invf[0]=invf[1]=1;for (int i=2;i<=lim;++i){f[i]=f[i-1]+f[i-2];if (f[i]>=mo) f[i]-=mo;sf[i]=1LL*sf[i-1]*f[i]%mo;g[i]=1;}invf[lim]=qr(sf[lim],mo-2);for (int i=lim;i>=2;--i)invf[i-1]=1LL*invf[i]*f[i]%mo,invf[i]=1LL*invf[i]*sf[i-1]%mo;for (int i=2;i<=lim;++i){for (int j=1;i*j<=lim;++j)if (mu[j]==1)g[i*j]=1LL*g[i*j]*f[i]%mo;else if (mu[j]==-1)g[i*j]=1LL*g[i*j]*invf[i]%mo;sg[i]=1LL*sg[i-1]*g[i]%mo;}invg[lim]=qr(sg[lim],mo-2);for (int i=lim;i>=2;--i) invg[i-1]=1LL*invg[i]*g[i]%mo;
}
void work()
{scanf("%d%d",&n,&m);int t;if (n>m) swap(n,m);int ans=1;for (int last,t,i=1;i<=n;i=last+1)last=min(n/(n/i),m/(m/i)),ans=1LL*ans*qr(1LL*sg[last]*invg[i-1]%mo,1LL*(n/i)*(m/i)%(mo-1))%mo;printf("%d\n",ans);
}
int main()
{init();int T;for (scanf("%d",&T);T;--T) work();return 0;
}

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