M个苹果放在N个盘子里，有多少种不同的放法

1. 问题

M个同样的苹果放N个同样的盘子，允许有盘子空着, 问有多少种放法？

2.分析

令f(m,n)表示m个苹果放到n个盘子里有多少种放法，下面分类讨论:

m<n时，至少有n-m个盘子空着(这些空盘子并不影响最后的结果，因为每种方法都带有着些空盘子)。只考虑m个苹果放m个盘子 f(m,n)=f(m,m)
m>n时,按是否有空盘子分2种情况：

a.假设至少一个盘子空着，相当于f(m,n)=f(m,n-1)
b.所有的盘子都有苹果，假设每个盘子可以先放一个，问题就变成：m-n个苹果放到n个盘子，即f(m,n)=f(m-n,n)

总的放法为二者之和， f(m,n)=f(m,n-1)+f(m-n,n)

3. 临界条件

n=1时，所有苹果都放在同一个盘子里 f(m,n)=1
m=0时，没有苹果 f(m,n)=1

3.code

用递归实现分治

public int fun(int m,int n){if(m<=1||n==1)return 1;else if ( n == 0)return 0;else if(n>m)return fun(m,n-1);return fun(m-n,n) + fun(m,n-1);}

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