Butterworth技术指标及要求

filter_design_001.png

衰减函数(dB): A(

) = -10

= -20

通带最大衰减(dB): Ap = -10

= -20

阻带最小衰减(dB):As = -10

= -20

Butterworth增益和衰减特性曲线如下：

filter_design_002.png

Butterworth模拟低通滤波器的频域特性

filter_design_003.png

N:表示滤波器阶

: 表示3dB截频

所以

称为3dB 截频。 若

=1,则为归一化的BWF。

幅度响应单调下降。

一般不是通带截频

在

=0点1到2N-1阶导数为零,称为最大平坦性。

Butterworth模拟低通滤波器设计基本步骤

步骤1:确定模拟滤波器的阶数N

步骤2:确定模拟滤波器的3dB截频

步骤3:计算模拟滤波器的系统函数极点

步骤4:得到模拟低通滤波器的系统函数HL(s)

步骤一：确定模拟滤波器的阶数N

已知给定的条件

、

，根据

,再由

可得到

,推出：

步骤二：确定模拟滤波器的3dB截频

根据以上公式可得出

filter_design_004.png

当

由

决定的时候所得到的衰减图像表明在通带刚好满足要求，在阻带有裕量

当

由

决定的时候所得到的衰减图像表明在阻带刚好满足要求，在通带有裕量

当

在

和

之间任意取值时，最后得到的结果是在通带和阻带都有裕量

步骤3:确定模拟滤波器的系统函数极点

利用实系数模拟系统频率响应的共轭对称性有

求出系统函数的极点(位于s左半平面)如下:

步骤4:确定模拟低通滤波器的系统函数

filter_design_005.png

使用matlab求模拟低通滤波器的系统函数

连续系统的复频域描述如下,若描述连续LTI系统的微分方程为：

利用Laplace变换微分特性,可得描述该系统的复频域方程

最后得到连续时间LTI系统的系统函数如下：

设计一个满足下列指标BW型模拟低通滤波器fp=1KHz , fs=2KHz,Ap ≤1dB, As ≥40dB,求出其系统函数，并画出其频率响应特性图

Wp=2*pi*1000;%通带截止频率,将数字频率化成模拟频率

Ws=2*pi*2000;%阻带截止频率,将数字频率化成模拟频率

Ap=1;%通带最大衰耗

As=40; %阻带最小衰耗

% 求得阶数和3db截频wc

[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As,'s'); %Computer the order of analog filter,s表示模拟

fprintf('Order of the filter=%.0f\n',N)

%num 表示系统函数分子系数,den表示系统函数分母系数

[num,den] = butter(N,Wc,'s'); %Compute AF coefficients

disp('Numerator polynomial'); fprintf('%.4e\n',num);

disp('Denominator polynomial'); fprintf('%.4e\n',den);

omega=[Wp Ws]; % 求出通带频率点和截止频率点对应的频率响应值

h = freqs(num,den,omega); %Compute Ap and As of AF

ap = -20*log10(abs(h(1)));% 将通带频率响应转换成衰耗值，

as = -20*log10(abs(h(2)));% 将阻带频率响应转换成衰耗值，

hp = abs(h(1));

hs = abs(h(2));

gain_p = 20*log10(abs(h(1)));

gain_s = 20*log10(abs(h(2)));

fprintf('Ap= %.4f\n',ap);%打印ap

fprintf('As= %.4f\n',as);%打印as

% 看0~6000pi之间，步进为200 的频率响应值

omega = [0: 200: 3000*2*pi];

h = freqs(num,den,omega); %Compute the frequency response of the AF

subplot(211);

plot(omega/(2*pi),abs(h));

hold on;%在画完函数虚线之后保持曲线图

plot([0 Wp/(2*pi)],[hp hp],'r--'); %画两个虚线

plot([Wp/(2*pi) Wp/(2*pi)],[0 hp],'r--');

plot([0 Ws/(2*pi)],[hs hs],'r--'); %画两个虚线

plot([Ws/(2*pi) Ws/(2*pi)],[0 hs],'r--');

hold off;

xlabel('Frequency in Hz');

ylabel('H(jw)');

gain=20*log10(abs(h));

subplot(212);

plot(omega/(2*pi),gain);

hold on;%在画完函数虚线之后保持曲线图

plot([0 Wp/(2*pi)],[gain_p gain_p],'r--'); %画两个虚线

plot([Wp/(2*pi) Wp/(2*pi)],[0 gain_p],'r--');

plot([0 Ws/(2*pi)],[gain_s gain_s],'r--'); %画两个虚线

plot([Ws/(2*pi) Ws/(2*pi)],[0 gain_s],'r--');

hold off;

xlabel('Frequency in Hz');

ylabel('Gain in dB');

最后得出其频率响应以及增益曲线图如下：

filter_design_006.png

其系数为

Order of the filter=8 %8阶滤波器

Numerator polynomial % 分之系数

0.0000e+00

0.0000e+00

0.0000e+00

0.0000e+00

0.0000e+00

0.0000e+00

0.0000e+00

0.0000e+00

6.2187e+30

Denominator polynomial %分母系数

1.0000e+00

3.6222e+04

6.5603e+08

7.7093e+12

6.4060e+16

3.8498e+20

1.6360e+24

4.5108e+27

6.2187e+30

Ap= 0.6167

As= 40.0000

使用matlab分析该系统的零极点分布以及稳定性

num=[6.2187e+30];

den=[1.0000e+00 3.6222e+04 6.5603e+08 7.7093e+12 6.4060e+16 3.8498e+20 1.6360e+24 4.5108e+27 6.2187e+30];

subplot(211);

sys=tf(num,den);%求出系统的零极点

pzmap(sys);%画出系统零极点

subplot(212);

omega = [0: 200: 3000*2*pi];

H=freqs(num,den,omega);%得到频率响应

plot(omega/(2*pi),abs(H));%画出频率响应

xlabel('Frequency Hz');

title('Magnitude Respone');

filter_design_007.png

由图可知极点的分布都在S平面的左半平面，说明是系统稳定

N=8为偶数，一共有8个极点，和上面理论分析互相匹配