作者：翟天保Steven
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说明

近期项目中有涉及到向量运算的公式，其中有一个内容是向量三重积，即：

$\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$

过去的基础知识有些遗忘，特此以本篇文章进行一轮回顾。

本文主要针对标量三重积和向量三重积，进行特性说明和公式推导，以加深记忆和理解。

标量三重积

定义：

标量三重积是将三个向量中的某一个，与另两个向量叉积所得到的新向量，进行点积操作，这样结果就是一个标量，相当于两个向量点积。

设a、b、c是三个向量，则标量三重积可表示为： $\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ 。

特性1：

假设a=a1i+a2j+a3k，b=b1i+b2j+b3k，c=c1i+c2j+c3k，其中i、j、k是笛卡尔坐标系的三个轴正方向的单位向量。则有：

$\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=\left|\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|$

证明1：

向量叉乘可表示为行列式形态，对行列式进行拆解，因为i和i两个向量方向一致，所以点积为1，而i、j、k之间两两垂直，点积为0，不难得到结论。

$\begin{array}{l} \mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \\ =\left(a_{1} \mathbf{i}+a_{2} \mathbf{j}+a_{3} \mathbf{k}\right) \cdot\left|\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right| \\ =\left(a_{1} \mathbf{i}+a_{2} \mathbf{j}+a_{3} \mathbf{k}\right) \cdot\left(\mathbf{i}\left|\begin{array}{cc} b_{2} & b_{3} \\ c_{2} & c_{3} \end{array}\right|-\mathbf{j}\left|\begin{array}{cc} b_{1} & b_{3} \\ c_{1} & c_{3} \end{array}\right|+\mathbf{k}\left|\begin{array}{cc} b_{1} & b_{2} \\ c_{1} & c_{2} \end{array}\right|\right) \\ =\left|\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right| \end{array}$

特性2：

由行列式的性质，我们可知，当顺序不变，改变abc的位置也不会影响标量三重积的结果，如：

$\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=\mathbf{b} \cdot(\mathbf{c} \times \mathbf{a})=\mathbf{c} \cdot(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$

证明2：

以 $\mathbf{b} \cdot(\mathbf{c} \times \mathbf{a})$ 为例：

$\begin{array}{l} \mathbf{b} \cdot(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \\ =\left(b_{1} \mathbf{i}+b_{2} \mathbf{j}+b_{3} \mathbf{k}\right) \cdot\left|\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{array}\right| \\ =\left(b_{1} \mathbf{i}+b_{2} \mathbf{j}+b_{3} \mathbf{k}\right) \cdot\left(\mathbf{i}\left|\begin{array}{cc} c_{2} & c_{3} \\ a_{2} & a_{3} \end{array}\right|-\mathbf{j}\left|\begin{array}{cc} c_{1} & c_{3} \\ a_{1} & a_{3} \end{array}\right|+\mathbf{k}\left|\begin{array}{cc} c_{1} & c_{2} \\ a_{1} & a_{2} \end{array}\right|\right) \\ =\left|\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right| \end{array}$

注意行列式中的正负号问题，b1的位置代数余子式是-1，b2的位置代数余子式是+1。

特性3：

标量三重积的变换式：

$\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=-\mathbf{a} \cdot(\mathbf{c} \times \mathbf{b})$

$\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=-\mathbf{b} \cdot(\mathbf{a} \times \mathbf{c})$

$\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=-\mathbf{c} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$

上述式子根据特性2变换，注意 $\mathbf{b} \times \mathbf{c}=-\mathbf{c} \times \mathbf{b}$ ，方向相反，参考右手法则。

特性4：

标量三重积中任意两个向量相等，则标量三重积等于0。

假如a和b相等，则a叉乘b就为0,0点积任何数都为0。

表示形式：

常用括号来表示标量三重积：

$[\mathbf{a} \mathbf{b} \mathbf{c}]=\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}$

几何意义：

几何上，由三个向量表示的平行六面体的体积，等于三个向量的标量三重积：

$V=|\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})|=\left\|\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right\|$

向量三重积

定义：

向量三重积是三个向量中的某一个，与另两个向量叉积所得到的新向量，进行叉积操作，这样结果还是一个向量。

设a、b、c是三个向量，则向量三重积可表示为： $\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ 。

特性：

对任意向量a、b、c，有：

$\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$

许多人为了方便记忆该公式，用BAC-CAB（BACK-CAB，后面的出租车）来表示它，死背不如理解，接下来进行公式推导。

证明：

向量三重积得到的结果也是向量，向量有xyz三个分量，我们先分析x分量，假设 $\mathbf{b} \times \mathbf{c}=M$ ，则有：

$(\mathbf{a} \times \mathbf{M})_{x}=(\left|\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ M_{x} & M_{y} & M_{z} \end{array}\right|)_{x} \\$

x分量相当于将i的余子式提取出来，也就是右下角的那部分，同理，M的各个分量也是如此，则公式表示为：

$\begin{array}{l} (\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c}))_{x}=\mathbf{a}_{y}\left(\mathbf{b}_{x} \mathbf{c}_{y}-\mathbf{b}_{y} \mathbf{c}_{x}\right)-\mathbf{a}_{z}\left(\mathbf{b}_{z} \mathbf{c}_{x}-\mathbf{b}_{x} \mathbf{c}_{z}\right) \\ =\mathbf{b}_{x}\left(\mathbf{a}_{y} \mathbf{c}_{y}+\mathbf{a}_{z} \mathbf{c}_{z}\right)-\mathbf{c}_{x}\left(\mathbf{a}_{y} \mathbf{b}_{y}+\mathbf{a}_{z} \mathbf{b}_{z}\right) \\ =\mathbf{b}_{x}\left(\mathbf{a}_{x} \mathbf{c}_{x}+\mathbf{a}_{y} \mathbf{c}_{y}+\mathbf{a}_{z} \mathbf{c}_{z}\right)-\mathbf{c}_{x}\left(\mathbf{a}_{x} \mathbf{b}_{x}+\mathbf{a}_{y} \mathbf{b}_{y}+\mathbf{a}_{z} \mathbf{b}_{z}\right) \\ =(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b}_{x}-(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}_{x} \end{array}$

同理可得y和z分量：

$\begin{array}{l} (\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c}))_{y}=(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b}_{y}-(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}_{y} \end{array}$

$\begin{array}{l} (\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c}))_{z}=(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b}_{z}-(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}_{z} \end{array}$

所以，不难得出：

$\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$

另类证明：

对 $\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ 而言， $\mathbf{b} \times \mathbf{c}$ 将得到b向量和c向量所在平面的法向量n，n与a叉积所得向量必处于b和c所在平面，则可表示为：

$\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=p\mathbf{b}+q\mathbf{c}$

此时的a向量与其也是垂直关系，点积则有：

$\mathbf{a}\cdot(p\mathbf{b}+q\mathbf{c})=p\mathbf{ab}+q\mathbf{ac}=0$

若要等式恒成立，又考虑到p和q是常数，则p必然等于a和c的点积，q必然等于a和b的点积的负数，则有：

$\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$

以上就是本文关于标量三重积和向量三重积相关知识的说明。

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