向量的三重积公式及其证明（附python代码）

向量的三重积公式是经常会在向量代数中使用到的恒等式，它的表达形式如下所示：a⃗×(b⃗×c⃗)=(a⃗⋅c⃗)b⃗−(a⃗⋅b⃗)c⃗\vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right) = \left(\vec{a}\cdot\vec{c}\right)\vec{b}-\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)\vec{c}a×(b×c)=(a⋅c)b−(a⋅b)c

我们可以使用以下python代码来进行证明（我们对上式稍微变形一下证明这个恒等式即可）a⃗×(b⃗×c⃗)−(a⃗⋅c⃗)b⃗+(a⃗⋅b⃗)c⃗=0\vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right) - \left(\vec{a}\cdot\vec{c}\right)\vec{b}+\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)\vec{c}=0a×(b×c)−(a⋅c)b+(a⋅b)c=0

import sympy as sym
from sympy import sin,cos,diffx_a,y_a,z_a,x_b,y_b,z_b,x_c,y_c,z_c = sym.symbols('x_a,y_a,z_a,x_b,y_b,z_b,x_c,y_c,z_c')
a = sym.Matrix([x_a,y_a,z_a])
b = sym.Matrix([x_b,y_b,z_b])
c = sym.Matrix([x_c,y_c,z_c])A = a.cross(b.cross(c))
B = a.dot(c)*b
C = a.dot(b)*cprint(sym.simplify(A-B+C))

输出的结果为：

可见，这个恒等式是成立的。
当然，我们也可以手动计算，计算量稍微大一点，需要耐心和仔细。

利用三重积公式，我们可以得到另外一个有趣的恒等式，即：
a⃗×(b⃗×c⃗)+b⃗×(c⃗×a⃗)+c⃗×(a⃗×b⃗)=0\vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right) + \vec{b}\times\left(\vec{c}\times\vec{a}\right) + \vec{c}\times\left(\vec{a}\times\vec{b}\right) = 0a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0

我们也可以直接使用python程序进行证明：

import sympy as sym
from sympy import sin,cos,diffx_a,y_a,z_a,x_b,y_b,z_b,x_c,y_c,z_c = sym.symbols('x_a,y_a,z_a,x_b,y_b,z_b,x_c,y_c,z_c')
a = sym.Matrix([x_a,y_a,z_a])
b = sym.Matrix([x_b,y_b,z_b])
c = sym.Matrix([x_c,y_c,z_c])A = a.cross(b.cross(c))
B = b.cross(c.cross(a))
C = c.cross(a.cross(b))print(sym.simplify(A+B+C))

输出的结果为：

可见，这个恒等式是成立的。
当然，我们也可以手动计算，直接利用三重积公式展开然后合并同类项即可。

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