numpy实现数学中的各种积

2024-04-11 16:23:50

数学中有很多种积，内积、外积、张量积、以及对应元素相乘

1. 内积

内积又叫标量积、数量级、点积、点乘，要求两个矩阵大小相等，定义：
a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡∠(a,b)a\cdot b=|a||b|\cos\angle(a, b) a⋅b=∣a∣∣b∣cos∠(a,b)
程序实现：

import numpy as np
a = np.arange(10)
b = np.arange(10)
print(np.dot(a, b))

输出结果：

285 # (1+2*2+3*3+4*4+5*5+6*6+7*7+8*8+9*9)*cos(0) = 285

注意这里的结果是一个标量，没有方向。

2. 外积

外积有叫叉积，不要求两个矩阵大小相等，定义：
∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin⁡∠(a,b)|a\times b| = |a||b|\sin\angle(a, b) ∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin∠(a,b)
程序实现：

import numpy as np
a = np.arange(10)
b = np.arange(10)
print(np.outer(a, b))

输出结果：

0 # (1+2*2+3*3+4*4+5*5+6*6+7*7+8*8+9*9)*sin(0) = 0

注意这里结果是一个矢量，方向垂直于a与b组成的平面。

3. 张量积

张量积又叫克罗尼克积，不要求两个矩阵大小相等：
b⊗a→[b1b2b3b4][a1a2a3]=[a1b1a2b1a3b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3a3b3a1b4a2b4a3b4]b\otimes a\rightarrow\left[ \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4\\ \end{matrix} \right][a_1~~ a_2~~ a_3]=\left[ \begin{matrix} a_1b_1 & a_2b_1 & a_3b_1 \\ a_1b_2 & a_2b_2 & a_3b_2 \\ a_1b_3 & a_2b_3 & a_3b_3 \\ a_1b_4 & a_2b_4 & a_3b_4 \end{matrix} \right] b⊗a→⎣⎢⎢⎡b1b2b3b4⎦⎥⎥⎤[a1 a2 a3]=⎣⎢⎢⎡a1b1a1b2a1b3a1b4a2b1a2b2a2b3a2b4a3b1a3b2a3b3a3b4⎦⎥⎥⎤

import numpy as np
a = np.arange(10)
b = np.arange(10)
print(np.kron(a, b))

输出结果：

[ 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  0  2  4  68 10 12 14 16 18  0  3  6  9 12 15 18 21 24 27  0  4  8 12 16 20 24 2832 36  0  5 10 15 20 25 30 35 40 45  0  6 12 18 24 30 36 42 48 54  0  714 21 28 35 42 49 56 63  0  8 16 24 32 40 48 56 64 72  0  9 18 27 36 4554 63 72 81]

4. 对应元素相乘

顾名思义，这要求矩阵的大小是一样的，不然会报错。

import numpy as np
a = np.arange(10)
b = np.arange(10)
print(a * b)

输出结果：

[ 0  1  4  9 16 25 36 49 64 81]

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