1.The Power Method

寻找最大特征值。

不断按照x=Au迭代，

u是上一次的x归一化的结果。

当前的特征值为x坐标中绝对值的最大的

Algorithm: Power Method

To approximate the dominant eigenvalue and an associated eigenvector of the n*n matrix A given a nonzero initial vector.

Input: dimension n; matrix a[ ][ ]; initial vector x0[ ]; tolerance TOL; maximum number of iterations Nmax.

Output: approximate eigenvalue lambda and approximate eigenvector (normalized) or a message of failure.

Step 1 Set k = 1;

Step 2 Find index such that | x0[ index ] | = || x0 ||infty ;

Step 3 Set x0[ ] = x0[ ] / x0[ index ]; /* normalize x0 */

Step 4 While ( k <= Nmax) do steps 5-11

Step 5 x[ ] = A x0[ ]; /* compute xk from u^{k-1} */

Step 6 lambda = x[ index ];

Step 7 Find index such that | x[ index ] | = || x ||infty ;

Step 8 If x[ index ] == 0 then

Output ( “A has the eigenvalue 0”; x0[ ] ) ; STOP.

/* the matrix is singular and user should try a new x0 */

Step 9 err = || x0 - x / x[ index ] || infty ;

x0[ ] = x[ ] / x[ index ]; /* compute uk */

Step 10 If (err < TOL) then

Output ( lambda ; x0[ ] ) ; STOP. /* successful */

Step 11 Set k ++;

Step 12 Output (Maximum number of iterations exceeded);

STOP. /* unsuccessful */

最大特征值相同也可以算

如果lambda1 = -lambda2 则不能算

收敛速度：

两次迭代的特征值之比越小越好，因此用幂法算B=A-pI的特征值，p=(lambda1+lambda2)/2

最后算出的特征值加上p

2.Inverse Power Method

反幂法，计算最小的特征值,

计算p附近的特征值：

1.令B=A-pI

2.使用幂法，但是使用迭代（每次需要解xk=Axk+1）

3.幂法计算得到的特征值为：1/(lamda-p)，然后解出lambda

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