等概率整群抽样与多阶段抽样

概念

等概率抽样

抽样方法的一大类，指总体中的每个个体被抽中的概率相等
整群抽样

把总体划分为群，抽样时只需要群的抽样框，对群内所有单位进行抽样调查。

优点：由于只需要群的抽样框，简化了编制抽样框的工作量

缺点：估计精度较差，因为同一群内的单元比较相似，在样本量相同的情况下，抽样误差较大
多阶段抽样

类似整群抽样，首先抽取群，但不是调查群内的所有基本单元，而是进一步抽样，从群中选择若干个基本单元进行调查。例如，第一阶段抽取初级单元，第二阶段抽取二级单元，第三阶段抽取接受调查的基本单元就是三阶段抽样。但一般会尽可能减少抽取样本的阶段，每增加一个抽样阶段就会增添一份抽样误差，对总体的估计也会更加复杂。

优点：保证了样本相对集中，节约调查费用，不需要包含所有低阶段抽样单元的抽样框。在较大规模的抽样调查中经常使用。

往往现实生活中，更多的是使用多阶段抽样。

水塘抽样

https://www.cnblogs.com/krcys/p/9121487.html

在等概率多阶段抽样的实现过程中，对于大规模的数据集，为了节省时间和内存消耗，此时使用水塘抽样算法是一个不错的选择。

例题

有一个长度为N的链表，N的值非常大，我不清楚N的确切值。我怎样能写一个尽可能高效地算法来返回K个完全随机的数。

限制

高效且节省内存使用
尽量随机返回值

设定

S[N]记作样本集合、R[K]记作结果集合、N记作S的数组大小、J记作每次的随机数、K记作前K个随机数、i为迭代次数

步骤

取S集合中前K个数填入集合R
从S[K]开始遍历
生成随机数J，范围是[0,K+i-1]，因为i从0开始
若J<K，则替换R中的值，即R[j]=S[i]
遍历结束，生成结果数组R

伪代码如下：

# 1. 取S集合中前K个数填入集合R
for i = 0 to K-1R[i] <- S[i]
end# 2. 从S[K]开始遍历, 生成随机数J，范围是[0,K+i-1], 若J<K，则替换R中的值，即R[j]=S[i]
for i = K to N-1j = random(0,i)if j<KR[j] = S[i]end
end

复杂度分析

可以上面步骤看得出来，只利用了一个for循环，时间复杂度为O(N)，而for内部仅仅利用了K个空间进行存储，因此空间复杂度为O(K)，从而极大地节省时间和内存。

等概率？

在循环中第n行被抽取的概率为k/n，用Pn表示，而总数一共为N的话，任意第n行的被抽取的概率为：

因此，我们求出每个样本被抽取的概率是相同的，均为k/N.

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