C#，图论与图算法，寻找图强连通单元（Strongly Connected Components）的罗伯特·塔扬（Robert Tarjan‘s Algorithm）算法与源程序

Tarjan算法是一种高效的图算法，它利用图的深度优先搜索遍历，在线性时间内找到有向图中的强连通分量。使用的关键思想是，强连通组件的节点在图的DFS生成树中形成子树。

将有向图划分为强连通分量的任务非常重要，在各种问题中有着广泛的应用。用于此目的的两种算法是：

Tarjan算法

Kosaraju算法

本文将探讨Tarjan的算法。

在继续之前，我们将重新讨论图中的两个基本概念/术语：

强连通图

强连通分量

如果有向图的每个顶点都可以从图中的每个其他顶点到达，则称之为强连通图。这意味着每对节点之间将存在一条路径。

对于有向图，强连通分量是一个分区或子图，它不是另一个强连通分量的子图。这意味着强连通分量必须是满足条件的最大子图。此后，我们将使用缩写词SCC来指强连接组件。

算法

它利用了强连通组件的节点在图的DFS生成树中形成子树的特性。

涉及的步骤包括：

dfs在节点上运行，SCC的子树在编码时被删除并记录。

为每个用户维护两个值dfs\u num（u）和dfs\u low（u）。dfs\u num（u）是首次探索节点u时计数器的值。dfs\u low（u）存储可从u访问的最低dfs\u编号，该编号不是另一个SCC的一部分。

在探索节点时，它们会被推到堆栈上。

将探索节点的未探索子节点，并相应地更新dfs\u low（u）。

一个节点遇到dfs\u low（u）==dfs\u num（u）是其强连接组件中的第一个探索节点，堆栈中位于其上方的所有节点都会弹出并分配适当的SCC编号。

算法简述

如果所有顶点对之间都有一条路径，则有向图是强连通的。有向图的强连通分量是最大强连通子图。
我们已经讨论了Kosaraju的强连通组件算法。前面讨论的算法需要对一个图进行两次DFS遍历。本文讨论了Tarjan的算法，该算法只需要一次DFS遍历。
Tarjan算法基于以下事实：
DFS搜索生成DFS树/林
强连接组件构成DFS树的子树。
如果我们可以找到这些子树的头，我们可以打印/存储该子树中的所有节点（包括头），这将是一个SCC。
从一个SCC到另一个SCC没有后边（可以有交叉边，但在处理图形时不会使用交叉边）。
为了找到SCC的头部，我们计算disc和low数组（与铰接点、桥接和双连接组件一样）。如前几篇文章所讨论的，low[u]表示最早访问的顶点（发现时间最短的顶点），该顶点可以从以u为根的子树到达。如果disc[u]=low[u]，则节点u为头部。
强连通分量仅与有向图相关，而Disc和Low值与有向图和无向图都相关，因此在上图中，我们采用了无向图。
在上图中，我们显示了一个图和一个DFS树（根据边的遍历顺序，同一个图上可能有不同的DFS树）。
在DFS树中，连续箭头是树边，虚线箭头是后边（DFS树边）
每个节点的Disc和Low值如图所示为（Disc/Low）。
Disc：这是DFS遍历时第一次访问节点的时间。对于节点A、B、C、。。，和J在DFS树中，Disc值为1、2、3、。。，10
低：在DFS树中，树边将我们向前推进，从祖先节点到其子节点之一。例如，从节点C，树边可以将我们带到节点G、节点I等。后边将我们带到后面，从后代节点到其祖先节点之一。
例如，从节点G开始，后边将我们带到E或C。如果我们同时查看树和后边，那么我们可以看到，如果我们从一个节点开始遍历，我们可能会通过树边向下遍历树，然后通过后边向上遍历。例如，从节点E开始，我们可以向下到G，然后再向上到C。类似地，从E开始，我们可以向下到I或J，然后再向上到F。节点的“低”值通过该节点的子树告诉最顶端的可到达祖先（具有最小可能的圆盘值）。因此，对于任何节点，低值都等于其Disc值（节点是其自身的祖先）。然后我们查看它的子树，看看是否有任何节点可以将我们带到它的任何祖先。如果子树中有多条后缘将我们带到不同的祖先，那么我们将使用具有最小圆盘值的后缘（即最上面的后缘）。如果我们看一下节点F，它有两个子树。带有节点G的子树将我们带到E和C。另一个子树只将我们带回到F。这里最上面的祖先是C，其中F可以达到，因此F的低值是3（C的圆盘值）。
基于以上讨论，应该清楚的是，B、C和D的低值为1（因为A是B、C和D可以到达的最顶层节点）。同样，E、F和G的低值为3，H、I和J的低值为6。
对于任何节点u，当DFS启动时，Low将设置为其Disc 1st。
随后将对其每个子级v逐个执行DFS，低值u可在两种情况下更改：
案例1（树边缘）：如果尚未访问节点v，则在完成节点v的DFS后，最小值low[u]和low[v]将更新为low[u]。
低[u]=最小值（低[u]、低[v]）；
案例2（后缘）：当已访问子v时，则最低低[u]和光盘[v]将更新为低[u]。
低[u]=最小值（低[u]，圆盘[v]）；
在第二种情况下，我们可以用低[v]代替圆盘[v]。答案是否定的。如果你能想一想为什么答案是否定的，那么你可能已经理解了Low和Disc的概念。
边缘类型
相同的Low和Disc值有助于解决其他图形问题，如铰接点、桥接和双连接组件。
为了跟踪在头部扎根的子树，我们可以使用堆栈（访问时继续推节点）。找到头节点后，从堆栈中弹出所有节点，直到将头从堆栈中取出。
为了确保这一点，我们不考虑交叉边，当我们到达一个已经访问过的节点时，我们应该只处理堆栈中存在的已访问节点，否则忽略该节点。

参考：

C#，图（Graph）的数据结构设计与源代码

源代码（POWER BY 315SOFT）

using System;
using System.Text;
using System.Linq;
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;namespace Legalsoft.Truffer.Algorithm
{public partial class Graph{private void Strongly_Connect_Components_Utility(int u,ref int[] low,ref int[] disc,ref bool[] stackMember,ref Stack<int> st){disc[u] = time;low[u] = time;time++;stackMember[u] = true;st.Push(u);foreach (int n in Adjacency[u]){if (disc[n] == -1){Strongly_Connect_Components_Utility(n,ref low,ref disc,ref stackMember,ref st);low[u] = Math.Min(low[u], low[n]);}else if (stackMember[n] == true){low[u] = Math.Min(low[u], disc[n]);}}int w = -1;if (low[u] == disc[u]){while (w != u){w = (int)st.Pop();Traversal.Add(w);stackMember[w] = false;}}}public void Strongly_Connect_Components(){int[] disc = new int[Node_Number];int[] low = new int[Node_Number];for (int i = 0; i < Node_Number; i++){disc[i] = -1;low[i] = -1;}bool[] stackMember = new bool[Node_Number];Stack<int> st = new Stack<int>();for (int i = 0; i < Node_Number; i++){if (disc[i] == -1){Strongly_Connect_Components_Utility(i,ref low,ref disc,ref stackMember,ref st);}}}}public static partial class GraphDrives{public static string Strongly_Connect_Components(){StringBuilder sb = new StringBuilder();Graph g1 = new Graph(5);g1.AddEdge(1, 0);g1.AddEdge(0, 2);g1.AddEdge(2, 1);g1.AddEdge(0, 3);g1.AddEdge(3, 4);g1.Strongly_Connect_Components();sb.AppendLine("SSC in first graph<br>");sb.AppendLine(String.Join(",", g1.Traversal.ToArray()) + "<br>");Graph g2 = new Graph(4);g2.AddEdge(0, 1);g2.AddEdge(1, 2);g2.AddEdge(2, 3);g2.Strongly_Connect_Components();sb.AppendLine("SSC in second graph ");sb.AppendLine(String.Join(",", g2.Traversal.ToArray()) + "<br>");Graph g3 = new Graph(7);g3.AddEdge(0, 1);g3.AddEdge(1, 2);g3.AddEdge(2, 0);g3.AddEdge(1, 3);g3.AddEdge(1, 4);g3.AddEdge(1, 6);g3.AddEdge(3, 5);g3.AddEdge(4, 5);g3.Strongly_Connect_Components();sb.AppendLine("SSC in third graph<br>");sb.AppendLine(String.Join(",", g3.Traversal.ToArray()) + "<br>");Graph g4 = new Graph(11);g4.AddEdge(0, 1);g4.AddEdge(0, 3);g4.AddEdge(1, 2);g4.AddEdge(1, 4);g4.AddEdge(2, 0);g4.AddEdge(2, 6);g4.AddEdge(3, 2);g4.AddEdge(4, 5);g4.AddEdge(4, 6);g4.AddEdge(5, 6);g4.AddEdge(5, 7);g4.AddEdge(5, 8);g4.AddEdge(5, 9);g4.AddEdge(6, 4);g4.AddEdge(7, 9);g4.AddEdge(8, 9);g4.AddEdge(9, 8);g4.Strongly_Connect_Components();sb.AppendLine("SSC in fourth graph<br>");sb.AppendLine(String.Join(",", g4.Traversal.ToArray()) + "<br>");Graph g5 = new Graph(5);g5.AddEdge(0, 1);g5.AddEdge(1, 2);g5.AddEdge(2, 3);g5.AddEdge(2, 4);g5.AddEdge(3, 0);g5.AddEdge(4, 2);g5.Strongly_Connect_Components();sb.AppendLine("SSC in fifth graph<br>");sb.AppendLine(String.Join(",", g5.Traversal.ToArray()) + "<br>");return sb.ToString();}}
}

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