牛客练习赛31 C.无畏死灵术士莉莲娜与锁链面纱(期望dp)

传送门

其实没有那么复杂

发现如果先选择数字xxx,再选择数字yyy和

先选择数字yyy,再选择数字xxx没有区别,造成的影响是一样的

所以定义f[1<<20]f[1<<20]f[1<<20]为状态下的期望步数

若二进制第iii位是111说明被选择过了

那么现在就是快速求出每个状态是否合法

那么对于f[i]f[i]f[i]而言,枚举每一位二进制变成新的状态

f[i]=1+1n∗(f[a1]+f[a2]+f[a3]....+num∗f[i])f[i]=1+\frac{1}{n}*(f[a_1]+f[a_2]+f[a_3]....+num*f[i])f[i]=1+n1∗(f[a1]+f[a2]+f[a3]....+num∗f[i])

那么可以解得f[i]f[i]f[i]

如果f[i]f[i]f[i]本身本来就合法,就不需要这样转移,直接f[i]=0f[i]=0f[i]=0

合法不合法可以暴力预处理出来

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 2e5+10;
const int mod = 998244353;
int a[22],b[22],c[22],n,ok[1<<21],f[1<<21];
void change(int index)
{int l=1,r=index+1;c[index] = index;for(int i=1;i<=n;i++)if( b[i]<index ) c[l++] = b[i];else if( b[i]>index )   c[r++] = b[i];for(int i=1;i<=n;i++)   b[i] = c[i];
}
bool isok(int x)
{for(int i=1;i<=n;i++)   b[i] = a[i];for(int i=0;i<n;i++){if( (x&(1<<i))==0 ) continue;change(i+1);  }for(int i=1;i<=n;i++)if( b[i]!=i ) return false;return true;
}
int quick(int x,int n)
{int ans = 1;for( ; n ; n>>=1,x=x*x%mod )if( n&1 ) ans = ans*x%mod;return ans;
}
signed main()
{cin >> n;for(int i=1;i<=n;i++)    cin >> a[i];int maxx = (1<<n)-1, p = quick(n,mod-2);for(int i=0;i<=maxx;i++)   ok[i] = isok(i);for(int i=maxx;i>=0;i--){if( ok[i] )  continue;int num = 0;for(int j=0;j<n;j++){int nxt = i|(1<<j);if( nxt==i )   num++;else    f[i] = ( f[i]+p*f[nxt]%mod )%mod;}f[i] = ( f[i]+1 )*n%mod*quick( n-num,mod-2 )%mod;}cout << f[0];
}

预处理那部分如果写成递归版本会快很多,相当于启发式合并那样不需要每次从头来过

dfs代码

官方题解另一种版本

这就更暴力了

直接把aaa序列作为状态,定义f[a]f[a]f[a]为状态为aaa时还需要的期望

所以这个fff是mapmapmap,aaa是个vectorvectorvector

那么枚举每一个数字作为本次随机选择的数字,转移是

f[a]=1+1n∗(f[a1]+f[a2]+f[a3]....+num∗f[a])f[a]=1+\frac{1}{n}*(f[a_1]+f[a_2]+f[a_3]....+num*f[a])f[a]=1+n1∗(f[a1]+f[a2]+f[a3]....+num∗f[a])

这样可以求得f[a]f[a]f[a]

记忆化搜索去解,思想差不多

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 2e5+10;
const int mod = 998244353;
int vis[22],n,p;
map<vector<int>,int>f;
int quick(int x,int n)
{int ans = 1;for( ; n ; n>>=1,x=x*x%mod )if( n&1 ) ans = ans*x%mod;return ans;
}
int dfs(vector<int> a)
{if( f[a] ) return f[a];vector<int>b; b.resize(n);int num = 0;for(int i=0;i<n;i++){if( vis[i] )    { num++; continue; }int l=-1,r=i; b[i] = i;for(int j=0;j<n;j++)if( a[j]<i )   b[++l] = a[j];else if( a[j]>i )   b[++r] = a[j];vis[i] = 1;//已经改变过这个点了 if( a==b )   num++;else    f[a] = ( f[a]+dfs(b)*p%mod )%mod;vis[i] = 0;//回溯 }   return f[a] = ( 1+f[a] )*n%mod*quick( n-num,mod-2 )%mod;
}
vector<int>a;
signed main()
{cin >> n; a.resize(n);for(int i=0;i<n;i++){scanf("%lld",&a[i] );a[i]--;}p = quick(n,mod-2);cout << dfs(a);
}

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