听课整理--whx_day3~day4（天坑）

武爷爷太强了，讲的课信息量大的可以，而且因为时间原因不很详细（当然自己菜是原罪），姑且整理一下这两天的内容

DAY1

分布式计算（？）

应该是一种拆式子让互不干扰的技巧，是借了点思想吧（大概）
题目有krazki，cf506c
krazki模型（？)

si=max(si−1+ai,bi)si=max(si−1+ai,bi)

s_i = \max(s_{i-1} +a_i, b_i )

si=max(bj+∑k=j+1iak)si=max(bj+∑k=j+1iak)

s_i = \max(b_j + \sum_{k=j+1}^i a_k)

二
没有实例不是很懂
三

s′n=s′n+1−ansn′=sn+1′−an

s'_n=s'_{n+1}-a_n
武爷爷说是把没卡住的向上粘在卡住的下面
不是很懂

cf506c还没搞懂，日后再补

国王游戏（武爷爷的题）
留坑

选择题
不是很懂，似乎也不知道题目来源

集训队集训d1t2&d2t1
留坑

To the moon [uoj上有]

贪心策略显然，拿个栈能消就消
先模拟一发，建出操作树，询问一个区间时，L到R的距离即消除后的序列长度
O(n+q)O(n+q)O(n+q)

ATC Rabbit Exercise

留坑，虽然感觉不难

ATC Blue and Red Tree

留坑

单数区间

留坑

DAY2

插值

拉格朗日插值
已知(x1,y1),...,(xk+1,yk+1)(x1,y1),...,(xk+1,yk+1)(x_1,y_1) , ...,(x_{k+1},y_{k+1} ) ，两两不同，求原k次多项式
设原多项式为A(x)A(x)A(x)，显然可以有A(x)=∑k+1i=1yi⋅fi(x)A(x)=∑i=1k+1yi⋅fi(x)A(x)=\sum_{i=1}^{k+1} y_i\cdot f_i(x) ，其中

fi(x)={1,0,x=xix≠xifi(x)={1,x=xi0,x≠xi

f_i(x)= \begin{cases} 1,& x = x_i\\ 0,& x \neq x_i \end{cases}
然后拉格朗日插值给了一个构造

fi(x)=∏xj≠xix−xjxi−xjfi(x)=∏xj≠xix−xjxi−xj

f_i(x)=\prod_{x_j\neq x_i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}
牛顿插值
之前接触过序列的

hn=∑i=0n(ni)Δih0hn=∑i=0n(ni)Δih0

h_n=\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} \Delta_i h_0
不能拓展到实数吧（吗）

向量，矩阵，线性相关

课件里只有标题（摔
凭记忆写点

向量感觉就是个nnn元数组（这描述好oi啊是我说的不是武爷爷的话）
正交a⋅b=0" role="presentation" style="position: relative;">a⋅b=0a⋅b=0a\cdot b=0，a1,...,ana1,...,ana_1,...,an线性相关指每个aiaia_i都有 ai=∑1≤j≤n且j≠ibj⋅ajai=∑1≤j≤n且j≠ibj⋅aja_i=\sum_{1\le j\le n且j\neq i} b_j\cdot a_j，bjbjb_j是数
矩阵是个二维数表（好oi的描述不是武爷爷说的），秩是行或列极大线性无关组的大小，行秩等于列秩
关于矩乘
武爷爷似乎通过矩阵和向量的乘法看作线性组合的复合导出了结合律（？），别的记不清太多了
向量空间什么的
因为走神+武爷爷开飞机后面就听黑话的感觉啊淦

题目什么的有dzy loves ChineseⅡ，UEG

行列式，特征值，特征多项式

还是凭记忆
1. 行列式
det(A)=∑(−1)τ(p)⋅∏ni=1ai,pidet(A)=∑(−1)τ(p)⋅∏i=1nai,pi\det(A)=\sum (-1)^{\tau(p)} \cdot \prod_{i=1}^{n} a_{i,p_i}，其中ppp是1" role="presentation" style="position: relative;">111到nnn的排列，τ(p)" role="presentation" style="position: relative;">τ(p)τ(p)\tau(p)是ppp的逆序对数，实际计算高斯消元然后主对角线的积即答案。交换取负，数乘可提到外面，一行加上另一行的数乘答案不变
2. 特征值
若存在A⋅x=λ⋅x" role="presentation" style="position: relative;">A⋅x=λ⋅xA⋅x=λ⋅xA\cdot x=\lambda\cdot x，xxx是n" role="presentation" style="position: relative;">nnn维向量，λλ\lambda是一实数，则λλ\lambda是AAA的特征值
3. 特征多项式
f(A)=O" role="presentation" style="position: relative;">f(A)=Of(A)=Of(A)=O，OOO是零矩阵，则f" role="presentation" style="position: relative;">fff是AAA的特征多项式，很喵的是f(λ)=det(In⋅λ−A)" role="presentation" style="position: relative;">f(λ)=det(In⋅λ−A)f(λ)=det(In⋅λ−A)f(\lambda)=det(I_n\cdot \lambda - A)，武爷爷还顺手讲了JordanJordanJordan标准型，懵逼
行列式那套理论似乎在图论中用的很多（比如某Matrix-Tree Theorem，但我还是不懂啊摔）,特征方程什么的似乎只在处理线性递推关系的时候见到过。
题目给了集训队集训d2t3

拟阵

武爷爷提了一下，忘了证没证
1.独立集的集合非空（大概是这个意思）
2.继承（独立集的子集是独立集）
3.增广（大的独立集一定有元素能加到小独立集）

一些例子，kruskal，线性相关（？）
题：ctsc2015 App

一些图论杂题
日后再补吧，不是很清楚

Schwartz-Zippel Lemma

m元n次多项式，在域FFF给m个元随机取值多项式值为0的概率为n|F|" role="presentation" style="position: relative;">n|F|n|F|\frac{n}{|F|}
可以用在一些随机化上面

集训队集训2014 结合律
留坑待补

给矩阵 A,B,CA,B,CA,B,C 和模数kkk判断是否有 A⋅B=C" role="presentation" style="position: relative;">A⋅B=CA⋅B=CA\cdot B=C，O(n3)O(n3)O(n^3)过不了
随机一个向量x=(x′)k−1x=(x′)k−1x=(x')^{k-1}，乘到两边后判断是否相等，O(n2)O(n2)O(n^2)
x⋅(A⋅B−C)=0x⋅(A⋅B−C)=0x\cdot (A\cdot B-C)=0
若出错，令D=A⋅B−CD=A⋅B−CD=A\cdot B-C，DDD不为零矩阵，则可以写成x⋅D=E,Ei=∑j=1nxj⋅Dj,i" role="presentation" style="position: relative;">x⋅D=E,Ei=∑nj=1xj⋅Dj,ix⋅D=E,Ei=∑j=1nxj⋅Dj,ix\cdot D=E, E_i=\sum_{j=1}^{n} x_j\cdot D_{j,i}，看作方程，就是nnn个n" role="presentation" style="position: relative;">nnn元k−1k−1k-1次方程，由上面定理，这种概率为((k−1)nkn)n((k−1)nkn)n(\frac{(k-1)^n}{k^{n}})^{n}（吧），算一算，多random几发就好了

线性规划和对偶原理
太神了没怎么听懂，留坑

纳什均衡
武爷爷太神了