Fourier变换基础

Fourier变换定义

将积分运算
F(ω)=F[f(t)]=∫−∞+∞f(t)e−jωtdtF\left( \omega \right) =\mathscr{F}\left[ f\left( t \right) \right] =\int_{-\infty}^{+\infty}{f\left( t \right) e^{-j\omega t}}dtF(ω)=F[f(t)]=∫−∞+∞f(t)e−jωtdt
称为函数f(t)f\left( t \right)f(t)的Fourier变换

将积分运算
f(t)=F−1[F(ω)]=12π∫−∞+∞F(ω)ejωtdwf\left( t \right) =\mathscr{F}^{-1}\left[ F\left( \omega \right) \right] =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{F\left( \omega \right) e^{j\omega t}}dwf(t)=F−1[F(ω)]=2π1∫−∞+∞F(ω)ejωtdw
称为函数F(ω)F\left( \omega \right)F(ω)的Fourier逆变换

F(ω)F\left( \omega \right)F(ω)称为f(t)f\left( t \right)f(t)的象函数，f(t)f\left( t \right)f(t)称为F(ω)F\left( \omega \right)F(ω)的象原函数

Fourier变化性质

1.线性性质

F1(ω)=F[f1(t)]F2(ω)=F[f2(t)],α,βF_1\left( \omega \right) =\mathscr{F}\left[ f_1\left( t \right) \right] \ F_2\left( \omega \right) =\mathscr{F}\left[ f_2\left( t \right) \right] ,\alpha ,\betaF1(ω)=F[f1(t)] F2(ω)=F[f2(t)],α,β均为常数，则
F[αf1(t)+βf2(t)]=αF1(ω)+βF2(ω)\mathscr{F}\left[ \alpha f_1\left( t \right) +\beta f_2\left( t \right) \right] =\alpha F_1\left( \omega \right) +\beta F_2\left( \omega \right)F[αf1(t)+βf2(t)]=αF1(ω)+βF2(ω)
同样，逆变换也有线性性质

2.位移性质

F[f(t±t0)]=e±jωt0F[f(t)]\mathscr{F}\left[ f\left( t\pm t_0 \right) \right] =e^{\pm j\omega t_0}\mathscr{F}\left[ f\left( t \right) \right] F[f(t±t0)]=e±jωt0F[f(t)]

3.微分性质

若f(k)(t)f^{\left( k \right)}\left( t \right)f(k)(t)在(−∞,+∞)\left( -\infty ,+\infty \right)(−∞,+∞)连续或仅有有限个间断点，且lim⁡t→∞f(k)(t)=0,k=0,1,2,,,n−1,\underset{t\rightarrow \infty}{\lim}f^{\left( k \right)}\left( t \right) =0,k=0,1,2,,,n-1,t→∞limf(k)(t)=0,k=0,1,2,,,n−1,则有
F[f(n)(t)]=(jω)nF[f(t)]\mathscr{F}\left[ f^{\left( n \right)}\left( t \right) \right] =\left( j\omega \right) ^n\mathscr{F}\left[ f\left( t \right) \right]F[f(n)(t)]=(jω)nF[f(t)]

显然还可得到导数公式
F(n)(ω)=(−j)nF[tnf(t)]F^{\left( n \right)}\left( \omega \right) =\left( -j \right) ^n\mathscr{F}\left[ t^nf\left( t \right) \right]F(n)(ω)=(−j)nF[tnf(t)]

4.积分性质
若lim⁡t→+∞∫−∞tf(t)dt=0\underset{t\rightarrow +\infty}{\lim}\int_{-\infty}^t{f\left( t \right)}dt=0t→+∞lim∫−∞tf(t)dt=0

则
F[∫−∞tf(t)dt]=1jωF[f(t)]\mathscr{F}\left[ \int_{-\infty}^t{f\left( t \right)}dt \right] =\frac{1}{j\omega}\mathscr{F}\left[ f\left( t \right) \right]F[∫−∞tf(t)dt]=jω1F[f(t)]

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