前言

Fourier变换是科学研究中非常有用的一种数学工具。它的核心是把一个非常难解的问题，变换成另一个容易解决的问题，求解后然后再变换回原来的形式。

一、离散傅里叶变换

傅里叶变换是解决数学或计算机科学一些难题的一种重要的变换方法。其中，离散傅里叶变换（Discrete Fourier Translation）将一个N维复向量 ( x 1 , ⋯ , x N ) \left( x_{1},\cdots,x_{N} \right) (x1,⋯,xN)转换为如下定义的复向量 ( y 1 , ⋯ , y N ) \left( y_{1},\cdots,y_{N} \right) (y1,⋯,yN),
y k ≡ 1 N ∑ j = 0 N − 1 x j e 2 π i j k / N y_{k} \equiv \frac{1}{\sqrt{N}}{\sum\limits_{j = 0}^{N - 1}x_{j}}e^{2\pi ijk/N} yk≡N 1j=0∑N−1xje2πijk/N

二、量子傅里叶变换

1.量子傅里叶变化简述

在量子领域，存在与离散傅里叶变换严格相同的映射变换，即量子傅里叶变换（Quantum Fourier Translation，以下简称QFT）。它是量子计算中一种重要的线性酉变换，在处理量子信息问题中被广泛应用。量子傅里叶变换是将一组标准正交基态 ∣ 0 ⟩ , ∣ 1 ⟩ , ⋯ , ∣ N − 1 ⟩ \left| 0 \right\rangle,\left| 1 \right\rangle,\cdots,\left| {N - 1} \right\rangle ∣0⟩,∣1⟩,⋯,∣N−1⟩作为输入，对每一个基态实现如下变换：
Q F T ∣ j ⟩ = 1 N ∑ k = 0 N − 1 e 2 π i j k / N ∣ k ⟩ QFT\left| j \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{N}}{\sum\limits_{k = 0}^{N - 1}e^{2\pi ijk/N}}\left| k \right\rangle QFT∣j⟩=N 1k=0∑N−1e2πijk/N∣k⟩
对任意状态可以描述为：
∑ j = 0 N − 1 x j ∣ j ⟩ ↦ ∑ k = 0 N − 1 y k ∣ k ⟩ \begin{array}{r} \left. {\sum\limits_{j = 0}^{N - 1}x_{j}}\left| j \right\rangle\mapsto{\sum\limits_{k = 0}^{N - 1}y_{k}}\left| k \right\rangle \right. \\ \end{array} j=0∑N−1xj∣j⟩↦k=0∑N−1yk∣k⟩
其中，幅度 y k y_k yk是 x j x_j xj的离散傅里叶变换值。量子傅里叶变换图如下图所示，

在量子傅里叶变换线路中，主要由 H H H门和受控 R k R_k Rk门构成。其中， j = j 1 j 2 ⋯ j n j = j_{1}j_{2}\cdots j_{n} j=j1j2⋯jn是 j j j的二进制表示， 0. j 1 j 2 ⋯ j m = j 1 / 2 + j 2 / 2 2 ⋯ + j m / 2 m 0.j_{1}j_{2}\cdots j_{m} = j_{1}/2 + j_{2}/2^{2}\cdots + j_{m}/2^{m} 0.j1j2⋯jm=j1/2+j2/22⋯+jm/2m是小数的二进制表示，以及 R k R_k Rk门的矩阵形式表示为：
R k ≡ [ 1 0 0 e 2 π i / 2 k ] R_{k} \equiv \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{2\pi i/2^{k}} \\ \end{bmatrix} Rk≡[100e2πi/2k]
值得说明的是，图中没示出线路末尾的交换门( swap gate)，用交换门把量子位的次序反过来。图中也没示出输出中的归一化因子 1 2 \frac{1}{\sqrt{2}} 2 1。

2.量子傅里叶变换的乘积表示

利用态矢量的二进制形式和二进制分数，可以把量子Fourier变换表示为乘积形式:

其中，

因此，

其中，
整数部分从指数项消失，因为对任意整数 k k k， e 2 π i k = 1 e^{2\pi{ik}}=1 e2πik=1。

3.量子傅里叶变换的相关例子

3.1两个量子Fourier变换

两个量子位的态矢量（N=4）：

3.2矩阵形式

两个量子位的Fourier变换可以写成矩阵形式。
记 w = e 2 π i w=e^{2\pi{i}} w=e2πi，那么 w = 1 w=1 w=1， w 2 = − 1 w^2=-1 w2=−1，故

可以验证上述变换为酉。即，量子傅里叶变换为酉变换。

4.量子傅里叶变换时间复杂度（一个简单酉门时间复杂度记为 O ( 1 ) O(1) O(1)）

经典傅里叶变换， 2 n 2^n 2n个元素的离散Fourier变换算法需要的门数为 O ( n 2 n ) O(n2^n) O(n2n)

总结

量子Fourier变换是对量子力学振幅进行Fourier变换的有效算法。它不加速计算经典数据的Fourier变换，但它能用来做相位估算。相位估算是许多量子算法的基础。所以需要理解量子傅里叶变换的相关过程与线路。

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