线性代数物理意义学习（从几何角度出发，不同于数值解析解）

前言

大学课本里面学的线性代数从多元方程组的解析解入手，很多时候其本质讲解的是计算问题，但是当知识点进入到矩阵，向量时便不易理解，只注重其求解思路，不注重其应用价值。这里是从空间解析几何的角度出发辅助理解线性代数的本质。

一、向量是什么？

向量代表着空间中的箭头，如图所示

这里用矩阵表示就是
[24]\begin{bmatrix}{\color{Red} 2}\\{\color{Red} 4 }\end{bmatrix}[24]
矩阵中的向量起始点必须是原点
矩阵的单位数轴为基
av⃗+bw⃗a{\color{Red} \vec{v}}+b{\color{Red} \vec{w}}av+bw
v⃗\vec{v}v与 w⃗\vec{w}w组成平面。代表张成的空间
av⃗+bw⃗+cu⃗a{\color{Red} \vec{v}}+b{\color{Red} \vec{w}}+c{\color{Red} \vec{u}}av+bw+cu
v⃗\vec{v}v与 w⃗\vec{w}w,u⃗\vec{u}u组成空间。若组成的是一个平面，说明线性相关
向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集
矩阵变换就是考虑向量的输入输出，输入向量经矩阵转换后输入向量，改变了向量的方向和大小。
所以矩阵转换就是考虑运动，箭头终点是个点，看成点的运动。
在矩阵转换过程中，
直线依旧是直线
原点保持固定
对角线不弯折

二、线性变换的实质？

线性变换考虑的是基的变换（已知变换前后向量）

i⃗→[1−2],j⃗→[30]\vec{i}\rightarrow \begin{bmatrix}1\\ -2\end{bmatrix},\vec{j}\rightarrow \begin{bmatrix}3\\ 0\end{bmatrix}i→[1−2],j→[30]

这里i⃗\vec{i}i代表基

[xy]⇒x[1−2]+y[30]=[1x+3y−2x]\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}\Rightarrow x\begin{bmatrix}1\\ -2\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1x+3y\\ -2x\end{bmatrix}[xy]⇒x[1−2]+y[30]=[1x+3y−2x]

[x,y]是起始向量，经过矩阵转换后，变换成了[1x+3y,-2x]，这是变换后的向量
这里两个基合并在一起变成了2*2矩阵

[32−21]\begin{bmatrix}3 & 2\\ -2& 1\end{bmatrix}[3−221]

代表基的变换
若是列向量相关，则两个基平行，张成一维空间
比如说

[2−21−1]\begin{bmatrix}2 & -2\\ 1 & -1\end{bmatrix}[21−2−1]

FnF^{n}Fn代表的是n维空间
所以说，线性变换的实质是操纵空间

三、矩阵乘法的实质是什么？

矩阵乘法的实质是复合变换

[1101]([0−110][xy])=[1−110][xy]\begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{bmatrix}\left ( \begin{bmatrix}0 & -1\\ 1& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix} \right )=\begin{bmatrix}1 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}[1011]([01−10][xy])=[11−10][xy]
剪切矩阵旋转矩阵复合矩阵

[0210]\begin{bmatrix}0 & 2\\ 1 & 0\end{bmatrix}[0120]代表M2，[1−210]\begin{bmatrix}1 & -2\\ 1 & 0\end{bmatrix}[11−20]代表M1

M2M1≠M1M2M2M1\neq M1M2M2M1=M1M2是因为转换效果不一样，对一个空间中的线段先剪切再旋转，和先旋转再剪切是不一样的

四、行列式的实质是什么？

二阶行列式的实质是：矩阵中两个向量围成的平行四边形的面积

三阶行列式代表的是：六面体体积
三阶行列式的值为0，矩阵的列必然线性相关
秩为三，代表基组成三维空间
秩为二，代表基组成二维平面，其中两个基向量是平行的
秩为一，代表一条直线
秩为0，代表一个点
二阶行列式的值为负（面积不可能是负值），代表一张纸的背面，或者是i向量在j向量顺时针后面

五、线性变换的一些基本情况

Ax⃗=v⃗A\vec{x}=\vec{v}Ax=v代表的是一个向量在翻转矩阵的作用下，翻转成了另一个向量
当AAA不为零时，x⃗\vec{x}x向量经过变换与v⃗\vec{v}v重合
A−1A^{-1}A−1矩阵代表按照原来的转换方向将向量返回成原来的情况
A−1AA^{-1}AA−1A代表的是先变换再转换回去，表示什么都没做

点积如何理解？

[41]⋅[2−1]=4×2+1×(−1)=7\begin{bmatrix}4\\ 1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}2\\ -1\end{bmatrix}=4\times 2+1\times\left ( -1 \right )=7[41]⋅[2−1]=4×2+1×(−1)=7
v⃗\vec{v}v w⃗\vec{w}w

w⃗\vec{w}w向v⃗\vec{v}v上投影，投影的长度和v长度相乘，也可以v⃗\vec{v}v向w⃗\vec{w}w上投影

叉积如何理解？
v⃗×w⃗=p⃗\vec{v}\times \vec{w}=\vec{p}v×w=p
叉积
其实质是：v⃗\vec{v}v与w⃗\vec{w}w的叉积得到另一个向量p⃗\vec{p}p，向量p⃗\vec{p}p的长度是v⃗\vec{v}vw⃗\vec{w}w面积大小，方向是右手定则

六、特征值，特征向量的实质是什么？

AX⃗=λX⃗A\vec{X}=\lambda \vec{X}AX=λX
一个向量在A的作用下变换后，向量位置并没有改变
意味着矩阵对它的作用仅仅是拉伸或压缩而已，如同一个标量

i⃗\vec{i}i与j⃗\vec{j}j是单位向量，组成基坐标系与[-1,1]组成了二维平面，三个向量符合平行四边形法则
这时，基坐标系发生了变换，此时[-1,1]也随之变换。基坐标系变换成了
[3102]\begin{bmatrix}3 & 1\\ 0 & 2\end{bmatrix}[3012]

[-1,1]只是变长了2倍，说明[-1,1]是特征向量

所以说，基坐标系发生了变换，带动其坐标系内所有空间向量发生了变化，在这一过程中，方向位置没有改变的便是特征向量。
特征向量不止一个，对应的特征值也不止一个。λ\lambdaλ是特征值，代表的是放大或缩小的倍数。

在三阶矩阵中，A代表的是基坐标系的变化，使一个六面体发生了旋转，旋转后有的向量不发生变化，此时，旋转轴就是特征向量。

七、基的变换

将基坐标发生变换

再定义b1⃗\vec{b1}b1为[1,0],定义b2⃗\vec{b2}b2为[0,1]
相当于同一坐标用不同的语言（数字）来描述。
对一个矩阵来说，求n次方不好算，但是对于基坐标来说，n次方无非就是将基坐标伸缩
所以，基向量很好（基坐标变换），将特征向量变成基向量，这便是矩阵对角化
[3102][1−101]\begin{bmatrix}3 & 1\\ 0 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & -1\\ 0 & 1\end{bmatrix}[3012][10−11]
基变换矩阵

[1−101]−1[3102][1−101]=[3002]\begin{bmatrix}1 & -1\\ 0& 1\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}3 & 1\\ 0 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & -1\\ 0 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 &0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}[10−11]−1[3012][10−11]=[3002]

矩阵对角化条件：能张成全空间的特征向量
二阶矩阵有两个特征向量
三阶有3个特征向量