满k叉树编号为 i 的节点的孩子编号公式推导

结论

满k叉树编号为i的节点第一个孩子的编号 j 满足 $j = (i - 1) * k + 2$ ;

推导过程

设: 节点 i 处在该 m 叉树的第 h层, (h = 1, 2, 3...)

则前 h - 1 层共有 $N1 =\frac{k^{h-1}-1}{k-1}$ 个节点

同理前 h 层共有 $N2 =\frac{k^{h} - 1}{k -1}$ 个节点

显然 i 是第 h 层的 $i -N1$ 个节点, 即节点i 有 $i -N1 - 1$ 个左兄弟

故节点i 的第一个孩子 j 有 $(i -N1 -1)*k$ 个左兄弟

由此可得 j在第h + 1 层中的位置为 $(i -N1 -1)*k + 1$

那么节点j 在整棵满 k叉树的编号为 $N2 + (i -N1 -1)*k + 1$

即 $j =\frac{k^{h} - 1}{k -1} +(i -\frac{k^{h-1} -1}{k-1} -1)*k + 1$

整理可得: $j = (i - 1) * k + 2$

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