例1： 加工奶制品的生产计划

问题一:奶制品加工厂用牛奶生产A1A_1A1​,A2A_2A2​两种奶制品,1桶牛奶可以在甲类设备上用12 h加工成3 kg A1A_1A1​,或者在乙类设备上用8 h加工成4 kg A2A_2A2​,.根据市场需求,生产的A1A_1A1​,A2A_2A2​、全部能售出,且每千克A1A_1A1​，获利24元,每千克A2A_2A2​获利16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应,每天正式工人总的劳动时间为480 h,并且甲类设备每天至多能加工100 kg A1A_1A1​,乙类设备的加工能力没有限制.试为该厂制订一个生产计划,使每天获利最大,并进一步讨论以下3个附加问题:

1)若用35元可以买到1桶牛奶,应否作这项投资?若投资,每天最多购买多少桶牛奶?

2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间,付给临时工人的工资最多是每小时几元?

3）由于市场需求变化,每千克 A1A_1A1​的获利增加到30元,应否改变生产计划?1

针对原始问题，我们可以假设生产A1.A2A_1.A_2A1​.A2​所消耗牛奶的桶数分别为x1,x2x_1,x_2x1​,x2​利润为yyy那么即可建立模型
Maxy=24∗3∗x1+16∗4∗x2S.T.{x1+x2<=5012∗x1+8∗x2<=4803∗x1<=100x1,x2>=0Max\quad y = 24*3*x_1 + 16*4*x_2\\ S.T.\left\{ \begin{aligned} x_1+x_2<=50\\ 12*x_1+8*x_2<=480\\ 3*x_1<=100\\ x_1,x_2>=0\\ \end{aligned} \right.Maxy=24∗3∗x1​+16∗4∗x2​S.T.⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​x1​+x2​<=5012∗x1​+8∗x2​<=4803∗x1​<=100x1​,x2​>=0​

原始问题结果最终由代码求解（代码1-1）得到

目标函数值是： 3360.0x_1 = 20.0x_2 = 30.0

故原始问题用20桶牛奶生产A130桶牛奶生产A2A_130桶牛奶生产A_2A1​30桶牛奶生产A2​即可得到利润的最大值为3360

第一个附加问题将目标函数进行适当改动即可,假设购买了x3x_3x3​桶牛奶
Maxy=24∗3∗x1+16∗4∗x2−35∗x3S.T.{x1+x2<=50+x312∗x1+8∗x2<=4803∗x1<=100x1,x2>=0Max\qquad y = 24*3*x_1 + 16*4*x_2 - 35*x_3\\ S.T.\left\{ \begin{aligned} x_1+x_2<=50+x_3\\ 12*x_1+8*x_2<=480\\ 3*x_1<=100\\ x_1,x_2>=0\\ \end{aligned} \right.Maxy=24∗3∗x1​+16∗4∗x2​−35∗x3​S.T.⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​x1​+x2​<=50+x3​12∗x1​+8∗x2​<=4803∗x1​<=100x1​,x2​>=0​
由代码1-2重新求解得到

目标函数值是： 3438.0
x_1 = 8.0
x_2 = 48.0
x_3 = 6.0

可得应该做这笔投资，增加6桶牛奶的购买量即可

影子价格

增加了6桶牛奶的量，利润增加了3438-3360=78。每增加1桶牛奶可增加13的利润，在问题中，13即为牛奶的影子价格。为投资购买牛奶时牛奶桶数即为限制利润变的更大的主要因素，为紧约束

gurobipy有相关影子价格求解的相关函数2 因此对于附加问题1不用重新求解，求解影子价格进行分析即可，在代码1-1的基础上进行输出即可，详见代码1-3

  • 结果：Variable X
     x_1           20 x_2           30
  • Slack：当前解的约束松弛
    machine_Time           40
  • 影子价格
    Milk           48 Time            2

对于Slack

machine_Time为40对应的约束条件为x1*3<=100，这就说明，甲机器在此生产情况下仍有40h的剩余。
表明原料、劳动时间已用完,而甲类设备的能力有余.一般称“资源”剩余为0的约束为紧约束(有效约束).

对于影子价格

目标函数可以看作“效益”,成为紧约束的“资源”一旦增加,“效益”必然跟着增长.输出第影子价格给出这3种资源在最优解下“资源”增加1个单位时“效益”的增量:原料[MILK]增加1个单位(1桶牛奶)时利润增长48元,劳动时间[TIME]增加1个单位( 1h)时利润增长2元,而增加非紧约束[ CPCT]甲类设备的能力显然不会使利润增长.这里,“效益”的增量可以看作“资源”的潜在价值,经济学上称为影子价格,即1桶牛奶的影子价格为48元,1 h劳动的影子价格为2元,甲类设备的影子价格为0.
由此可得若可以聘用临时工人以增加劳动时间,付给临时工人的工资最多是每小时几元。而牛奶的影子价格也与改变模型重新求解得到的结果一致

以下为目标函数中的系数发生变化时最优解条件不变，目标系数的变化范围

x_1为64-96   x_2为48-72   注意:x_1系数的允许范围需要x_2系数64不变,反之亦然.
  • Variable SAObjLow
     x_1           64 x_2           48
  • Variable SAObjUp
     x_1           96 x_2           72

以下为约束条件右端常数项的变化范围

  • Constraint SARHSLow
    Milk      43.3333 Time          400 machine_Time           60
  • Constraint SARHSUp
    Milk           60 Time      533.333 machine_Time          inf
  • 对于影子价格，也是有限度的。超过了限度及时增加对应的“资源”，收益也不会得到相应的增长。约束条件右端常数项的变化范围就给出了“影子价格”的变化范围

由此可回答上述问题三问

(1)Milk影子价格48 大于一桶牛奶的成本。应该做这项投资，最多可购买10桶牛奶。
(2)Time的影子价格为2，说明每增加1h的工作时间可带来2r的收益。则雇用临时工人的最高工资为2r/h
(3)每千克												


											

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