背包问题

背包问题是动态规划中基本的问题，我们考虑下面的简单问题：

假设背包容量为4，有物品0，1，2，要使背包放的物品价值最大，并且总重量不超过背包容量，应该怎么放？
二维数组下的做法如下：
1、创建二维数组dp，其中dp[i][j]的含义是在0~i物品中任意取，放到容量为j的背包里，能够获得的最大价值。
2、确定递推公式
对于dp[i][j]，假设不取第i个物品，那么dp[i][j]=dp[i-1][j]；假设取第i的物品，那么dp[i][j]=dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]。为了获得更大的物品价值，dp[i][j]要取两者的最大值，即递推公式为：

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])

3、初始化dp数组
背包容量为0时，对于j=0时，dp[i][0]=0；对于i=0时，只有当j>=weight[i]时，dp[0][j]=0。在这个例子中初始化dp如下：

4、确定遍历顺序
可以先遍历背包，再遍历物品，也可以先遍历物品，再遍历背包。
5、举例推导dp数组

注意：做动态规划时，最好把dp能写出来，遇到有报错可以打印dp数组进行对比，看哪里出错。

空间复杂度优化

二维数组可以优化成一维数组，即将一个一维数组重复利用，称之为滚动数组。只保留一个和背包容量+1的一维数组，遍历物品，对每个物品，更新这个一维数组，由上面的递推公式，dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])，可以改写成dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])，相当于更新dp[i][j]前，它表示上一层的dp[i-1][j]，更新后，它表示dp[i][j]。而如果我们从小容量背包到大容量背包遍历，会出现前面小容量的背包不再是上一层的dp，而是已经更新过的dp，因此这样遍历会出现重复计算物品的现象。因此对于背包应该从大背包向小背包遍历。五部曲分析：
1、确定dp和含义，dp是长度和背包长度+1的一维数组，dp[j]表示容量为j的背包能装的最大物品价值
2、确定递推公式
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
3、dp数组初始化
由于dp[j]代表容量为1的背包装的最大物品价值，因此j=0时dp[0]=0，其余情况也可以赋dp[j]=0，因为后面会将dp[j]覆盖。
4、遍历顺序
只能从后往前遍历，即从大背包向小背包遍历，防止之前的数据被覆盖。
5、举例推导dp数组

Java代码

public static void main(String[] args) {int[] weight = {1, 3, 4};int[] value = {15, 20, 30};int bagWight = 4;testWeightBagProblem(weight, value, bagWight);
}public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagWeight){int wLen = weight.length;//定义dp数组：dp[j]表示背包容量为j时，能获得的最大价值int[] dp = new int[bagWeight + 1];//遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包容量for (int i = 0; i < wLen; i++){for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--){dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}//打印dp数组for (int j = 0; j <= bagWeight; j++){System.out.print(dp[j] + " ");}
}

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