acm-(好题、神题)2020-2021 Winter Petrozavodsk Camp, Day 5 B.Lockout vs tourist

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简要题意：你和tourist一起比赛做题，你们两个每轮同时决策做哪道题，如果选择相同的题目，那么你不得分，比赛继续进行，如果选择了不同的题目，那么你能拿下你选择的这道题的全部分数，比赛结束，tourist想让你得分最少，你想让得分最多，问在双方均采取最优决策的情况下你的期望得分。

这道题一看就非常难以下手，直接给出题解的神仙做法吧。首先tourist的决策一定是基于概率的，我们考虑给每个问题设置一个概率pip_ipi，代表touristtouristtourist有pip_ipi的概率在当前轮中选择问题iii，那么为了让你比分最小化，我们需要对于所有可能的ppp数组产生的得分期望取最小值。而对于每个ppp数组你则是想要让得分期望最大化，因此tourist必会考虑让你的最大化期望最小，对于固定的ppp数组你的最大化期望是max⁡i{ai(1−pi)+bipi}\max_{i}\{a_i(1-p_i)+b_ip_i\}maxi{ai(1−pi)+bipi}，其中bib_ibi代表除去第iii道题后在剩下的题中进行最优博弈对应的得分期望(这样可以状压dp处理)，这个式子的意思就是，假如你在当前轮选择做第iii道题目，那么你有1−pi1-p_i1−pi的概率成功得到这个题目的分数，这时候比赛也就结束了，当然也有pip_ipi的概率跟tourist选择了同一道题从而不能拿下该题的分数，这时候的期望分数对应的是一个子问题的博弈结果，即在现有题目基础上除去第iii道题后对应的博弈结果。而tourist自然会取min⁡p{max⁡i{ai(1−pi)+bipi}}\min_p\{\max_{i}\{a_i(1-p_i)+b_ip_i\}\}minp{maxi{ai(1−pi)+bipi}}，这便是最终博弈对应的答案。

然后还需要观察到一个性质，在对aaa数组从小到大排序之后，满足∀i<j,ai≤aj,bi≥bj\forall i<j,a_i\le a_j,b_i\ge b_j∀i<j,ai≤aj,bi≥bj，这个很容易想明白，接下来我们考虑让上面那个式子的所有pip_ipi都为000，我们现在有要找一个ppp的分配方案，满足所有ppp之和为111并且ai(1−pi)+bipia_i(1-p_i)+b_ip_iai(1−pi)+bipi的最大值最小。令fi=ai(1−pi)+bipif_i=a_i(1-p_i)+b_ip_ifi=ai(1−pi)+bipi，由于此时pi=0p_i=0pi=0，因此fi=aif_i=a_ifi=ai，函数单调不减，最大值在fnf_nfn处取得，考虑增加pnp_npn看看会发生什么，如果an>bna_n>b_nan>bn，增加pnp_npn会让fnf_nfn减小，我们看看fnf_nfn能否减小为fn−1f_{n-1}fn−1，如果能减少到，那么我们考虑继续分配ppp给pn−1p_{n-1}pn−1和pnp_npn，看fnf_nfn和fn−1f_{n-1}fn−1能否减少到fn−2f_{n-2}fn−2…如果减少不到，那么把剩下可用的ppp值全部分给pnp_npn即可。如果an<=bna_n<=b_nan<=bn，那么不能分配ppp给pnp_npn，而是分给其它pip_ipi，容易发现无论如何分配都满足fi<=fnf_i<=f_nfi<=fn，因为bi<=anb_i<=a_nbi<=an。此外，再迭代处理的过程中，若发现有ai<=bia_i<=b_iai<=bi，那么此时可以把剩下的ppp全部分给前面的pj(j>i)p_j(j>i)pj(j>i)，这样aia_iai就是全局能取到的最小值了。

说了这么多感觉还是非常乱，这道题就是非常神仙。下面直接看看代码吧。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int maxn = 22;
typedef double db;
typedef long long ll;int c[maxn],tot=0;
db a[maxn],b[maxn];
db dp[1<<maxn];db solve(int n){db sumder=0,sump=0;if(a[1]<=b[1])return a[1];sumder=1./(a[1]-b[1]);for(int i=2;i<=n;++i){db deta=a[i-1]-a[i];db ad=deta*sumder;if(sump+ad>1)return a[i-1]-(1-sump)/sumder;if(a[i]<=b[i])return a[i];sumder+=1./(a[i]-b[i]);sump+=ad; }return a[n]-(1-sump)/sumder;
}
int main(){int n;scanf("%d",&n);for(int i=0;i<n;++i)scanf("%d",&c[i]);sort(c,c+n);for(int i=1;i<(1<<n);++i){tot=0;for(int j=n-1;j>=0;--j){if(!((i>>j)&1))continue;a[++tot]=c[j];b[tot]=dp[i^(1<<j)];}dp[i]=solve(tot);} printf("%.12lf\n",dp[(1<<n)-1]);
}

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