lower_bound和upper_bound的用法

二分查找算法可以解决最简单的二分查找问题：a数组单调递增，并且其中没有重复的数值。我们遇到的实际问题可能就没有这么简单，可能会有重复的数值。比如a数组里有3个5。这时我们查找5就有一个问题：到底返回哪一个5的下标？

为了解决这些问题，C++ STL提供了两个特别好用的函数：lower_bound()和uppper_bound()。假设a是一个数组，n是数组长度，lower_bound(a, a+n, x)返回数组a[0]~a[n-1]中，大于等于x的数中，最小的数的指针。由于指针可以通过加减算偏移量，所以我们再减去a(数组名会被隐式转换成指针)，就得到了相应的下标。我们看一下下面的例子，假设我们在a数组中找3这个数。

左边是a数组，当然这个a数组必须递增的，不然lower_bound()会出错。其中标红的是大于等于3的数。右边是lower_bound()的返回值减去a，是标红这些数里最小的一个的下标。注意最后一个例子，如果a数组中一个大于等于3的都没有，会返回数组长度n。

另一个函数叫做upper_bound()。同样假设a是一个数组，n是数组长度，upper_bound(a, a+n, x)返回数组a[0]~a[n-1]中，大于x的数中，最小的数的指针。

注意lower_bound是“大于等于”，upper_bound是“大于”。
我们看一下下面的例子，假设我们在a数组中找3这个数。

标红的部分是a数组中大于3的数。upper_bound的返回值减去a是这些数里最小的一个的下标。

其实对于lower_bound和upper_bound还有一个等价的解释。就是假设我要在a数组中插入x，然后还保持递增，那么lower_bound返回的是x最小的可以插入的数组位置，upper_bound返回的是x最大的可以插入的数组位置。

我们来通过一个程序看一下lower_bound和upper_bound的用法。

首先注意第一行，使用lower_bound和upper_bound需要包含algorithm头文件。然后注意第8~10行，lower_bound和upper_bound的返回值是整型指针。lower-a和upper-a是在做指针减法，结果是指针的偏移量，也就相当于是a数组的下标。程序运行的结果是最后注释的部分。

另外lower_bound和upper_bound的前两个参数是其实是待查范围的首尾指针(左闭右开区间，不包括尾指针)，所以也可以写别的参数。比如下面的程序就是从a[1]开始查找：

上面我们介绍了lower_bound和upper_bound的用法。但是这两个函数是C++才有的。如果你平常用的是C或者Java怎么办呢？那我们只好写一个自己的my_lower_bound和my_upper_bound。首先我们定义一下my_lower_bound函数是这个样子：int my_lower_bound(int a[], int n, int x)

注意my_lower_bound和C++STL自带的lower_bound有区别，my_lower_bound的第一个参数是一个数组，第二个参数是数组长度，第三个参数是待查找的值；它的返回值是“大于等于x的数中，最小的数的下标“，另一个等价的说法是“假设在a数组中插入x，并保持插入后仍然有序，最小的合法插入下标”。

代码如下：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int n, x, a[100000];
int my_lower_bound(int a[], int n, int x){int l = 0;int r = n - 1;int ans = n;while(l <= r){int m = l + (r - l) / 2;if(a[m] >= x){ans = m;r = m - 1;}elsel = m + 1;}return ans;
}
int main()
{cin >> n >> x;for(int i = 0; i < n; i++)cin >> a[i];int lower = my_lower_bound(a, n, x);cout << lower << endl;return 0;
}

以上是my_lower_bound的代码，如果我们要实现my_upper_bound的代码，其实也很容易。my_lower_bound是找“大于等于x的数中，最小的数的下标“，所以第11行是if(a[m] >= x)。
my_upper_bound是找“大于x的数中，最小的数的下标“，所以只需要把第11行改成if(a[m]>x)即可。

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