[分布式控制浅述] （1）图论基础

[分布式控制浅述] （1）图论基础
- 1 前言
- 2 概述
- 3 度矩阵（Degree Matrix）
- 4 拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix）
- 5 特殊图
- - 5.1 有向图与无向图（directed graph and undirected graph）
  - 5.2 平衡图（balanced graph）
  - 5.3 强连接图（strongly connected graph）
  - 5.4 生成树（spanning tree）

[分布式控制浅述] （1）图论基础

因为笔者学习和研究的需要，将会开启一个系列博客（如果笔者不咕咕咕），主要讲述现在十分火热的分布式协同控制理论，其应用一个是纯理论性质的一致性问题，另一个则是偏向实际的编队问题。
不过从实际上来说，分布式控制应用还是得有一定的时间，各方面的技术，尤其是定位与通信还没有达到分布式控制所要求的高度。因此说白了目前这些理论算法多难以应用到实际应用，但是从学术的角度来说，还是很值得研究的。笔者曾经利用一致性理论做过大疆M210飞机的编队飞行试验，就结果而言，算法是很好的，但是效果很一般，实际实验中的定位误差和通信丢包阻塞才是更为主要的问题，当然，这可能也和笔者的试验设备通信能力有关。
大疆m210无人机编队试验
首先笔者必须介绍图论，这是本领域的最基础知识，后面将利用笔者浅薄的知识，为读者最为通俗易懂地、介绍一些笔者接触学习和使用过的分布式控制与一致性理论问题。
[分布式控制浅述] （2）经典一阶系统的一致性问题

1 前言

“History repeats itself twice: the first time as tragedy, the next time as farce. ”
——Karl Marx
图论可谓是分布式控制和一致性理论的基础，下面简单介绍。

2 概述

图论是用于表示多智能体之间通信拓扑的工具。假设有nnn个智能体，他们之间的信息交互可以用一个有向图表示：G={V,E,A}\mathbf{G}=\left\{ \mathbf{V},\mathbf{E},\mathbf{A} \right\}G={V,E,A}。其中V={υi,i=1,⋯,n}V=\left\{ {{\upsilon }_{i}},i=1,\cdots ,n \right\}V={υi,i=1,⋯,n}为节点集，代表nnn个智能体；E⊆V×V\mathbf{E}\subseteq \mathbf{V}\times \mathbf{V}E⊆V×V为边集，A=[aij]∈Rn×nA=\left[ {{a}_{ij}} \right]\in {{R}^{n\times n}}A=[aij]∈Rn×n为图的加权邻接矩阵。
在有向图G\mathbf{G}G中，如果从节点υj{{\upsilon }_{j}}υj到节点υi{{\upsilon }_{i}}υi存在一条有向边，则表示智能体jjj的信息可以传给智能体iii，同时用(υj,υi)∈E\left( {{\upsilon }_{j}},{{\upsilon }_{i}} \right)\in \mathbf{E}(υj,υi)∈E表示。加权邻接矩阵的定义为：
aij>0⇔(υj,υi)∈E{{a}_{ij}}>0\Leftrightarrow \left( {{\upsilon }_{j}},{{\upsilon }_{i}} \right)\in \mathbf{E}aij>0⇔(υj,υi)∈E aij=0⇔(υj,υi)∉E{{a}_{ij}}=0\Leftrightarrow \left( {{\upsilon }_{j}},{{\upsilon }_{i}} \right)\notin \mathbf{E}aij=0⇔(υj,υi)∈/E一般地，定义aii=0{{a}_{ii}}=0aii=0，即智能体无自反馈。
智能体iii的邻居智能体为：所有可以传输信息给智能体iii的其他智能体，即：
Ni={j:(υj,υi)∈E}{{\mathbf{N}}_{i}}=\left\{ j:\left( {{\upsilon }_{j}},{{\upsilon }_{i}} \right)\in \mathbf{E} \right\}Ni={j:(υj,υi)∈E}相似地，定义：
Oi={j:(υi,υj)∈E}{{\mathbf{O}}_{i}}=\left\{ j:\left( {{\upsilon }_{i}},{{\upsilon }_{j}} \right)\in \mathbf{E} \right\}Oi={j:(υi,υj)∈E}

3 度矩阵（Degree Matrix）

定义节点υi{{\upsilon }_{i}}υi的出度：
deg⁡(υi)out=di=∑j=1naij=∑j∈Niaij\deg {{\left( {{\upsilon }_{i}} \right)}_{out}}={{d}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{n}{{{a}_{ij}}}=\sum\limits_{j\in {{\mathbf{N}}_{i}}}^{{}}{{{a}_{ij}}}deg(υi)out=di=j=1∑naij=j∈Ni∑aij那么度矩阵为：
D=diag{d1,d2,⋯,dn}=[d10⋯00d2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯dn]D=diag\left\{ {{d}_{1}},{{d}_{2}},\cdots ,{{d}_{n}} \right\}=\left[ \begin{matrix} {{d}_{1}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & {{d}_{2}} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & {{d}_{n}} \\ \end{matrix} \right]D=diag{d1,d2,⋯,dn}=⎣⎢⎢⎢⎡d10⋮00d2⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮dn⎦⎥⎥⎥⎤一般地，提到一个图的度和度矩阵都是指出度矩阵。同样还有入度，较少用到，刚好笔者最近要使用，就在这里一并列出：
deg⁡(υi)in=∑j=1naji=∑j∈Oiaji\deg {{\left( {{\upsilon }_{i}} \right)}_{in}}=\sum\limits_{j=1}^{n}{{{a}_{ji}}}=\sum\limits_{j\in {{\mathbf{O}}_{i}}}^{{}}{{{a}_{ji}}}deg(υi)in=j=1∑naji=j∈Oi∑aji

4 拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix）

Laplacian matrix在一致性理论中十分重要，几乎所有的证明和推导都包含这个矩阵。
定义：
L=D−AL=D-AL=D−A
即：
L=[∑j=1na1j−a12⋯−a1n−a21∑j=1na2j⋯−a2n⋮⋮⋱⋮−an1−an2⋯∑j=1nanj]L=\left[ \begin{matrix} \sum\limits_{j=1}^{n}{{{a}_{1j}}} & -{{a}_{12}} & \cdots & -{{a}_{1n}} \\ -{{a}_{21}} & \sum\limits_{j=1}^{n}{{{a}_{2j}}} & \cdots & -{{a}_{2n}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -{{a}_{n1}} & -{{a}_{n2}} & \cdots & \sum\limits_{j=1}^{n}{{{a}_{nj}}} \\ \end{matrix} \right]L=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡j=1∑na1j−a21⋮−an1−a12j=1∑na2j⋮−an2⋯⋯⋱⋯−a1n−a2n⋮j=1∑nanj⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤Laplacian matrix有以下重要性质：

Laplacian matrix为半正定的。
特征值0出现的次数就是图连通的区域。
最小特特征值为0（因为每行和均为0，且图最少有一个连通区域）
最小非0特征值是图的代数通达度。

对控制而言，其中最重要的就是其性质中的半正定性了，这对于稳定性证明十分重要。

5 特殊图

从严格角度来说有向图最弱，有：
有向图<强连接图<生成树<平衡图<无向图有向图<强连接图<生成树<平衡图<无向图有向图<强连接图<生成树<平衡图<无向图注：关于强连接图和生成树的条件强度比较可以详见下面文献的Remark 1：
R. Olfati-Saber, J. A. Fax, and R. M. Murray, “Consensus and cooperation in networked multi-agent systems,” Proc. IEEE, vol. 95, no. 1, pp. 215–233, 2007.

5.1 有向图与无向图（directed graph and undirected graph）

顾名思义，无向图有：
aij=aji{{a}_{ij}}={{a}_{ji}}aij=aji而有向图上式不一定成立。
值得一提的有向图的性质：

邻接矩阵和拉普拉斯矩阵都是对称的
出度和入度相同，很好理解，因为对称，即：
deg⁡(υi)out=∑j=1naij=∑j=1najideg⁡(υi)in\deg {{\left( {{\upsilon }_{i}} \right)}_{out}}=\sum\limits_{j=1}^{n}{{{a}_{ij}}}=\sum\limits_{j=1}^{n}{{{a}_{ji}}}\deg {{\left( {{\upsilon }_{i}} \right)}_{in}}deg(υi)out=j=1∑naij=j=1∑najideg(υi)in

5.2 平衡图（balanced graph）

平衡图是指对任意iii和jjj，有：
∑i≠jaij=∑j≠iaji\sum\limits_{i\ne j}{{{a}_{ij}}}=\sum\limits_{j\ne i}{{{a}_{ji}}}i=j∑aij=j=i∑aji可以知道，平衡图可以是一个有向图。

5.3 强连接图（strongly connected graph）

简单的说，图中任意两个节点有一条通路，即为强连接图。

5.4 生成树（spanning tree）

简单的说，图中存在一个节点，对所有节点都可达（包括间接可达）。那么其Laplacian矩阵有且仅有一个0特征值，其特征向量为1向量，即L1n=0nL{{\mathbf{1}}_{n}}={{\mathbf{0}}_{n}}L1n=0n，且其他非零特征值均有负实部。性质的证明可以参考Wei Ren教授的文章Lemma 3.3：
Wei Ren, Randal W. Beard, ”Consensus Seeking in Multiagent Systems UnderDynamically Changing Interaction Topologies”, IEEE Transactions on automatic control, 2005